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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 123

Em uma fábrica, o processo de endurecimento por resfriamento brusco é utilizado para tratar os rolamentos de esfera de aço ( c = 500   J / k g ⋅ K , k = 60   W / m ⋅ K , ρ = 7900   k g / m 3 ) de 25 mm de diâmetro. Depois de aquecidos a uma temperatura prescrita, os rolamentos de esfera de aço são resfriados. Determine a taxa de perda de calor. Considerando que a taxa de redução de temperatura na superfície do rolamento de esferas em dado instante durante o processo de resfriamento é 50 K/s.

Passo 1

Temos um problema de regime transiente. Além disto, não há geração de calor, a condução é unidimensional e a condutividade térmica é constante.

Como estamos trabalhando com uma esfera, vamos utilizar o sistema de coordenadas esférica. Para podermos descobrir qual é a taxa de transferência de calor na superfície da esfera, precisamos analisar a condução de calor nela a partir da nossa EDP. Portanto, devido as nossas hipóteses iniciais, a EDP que rege o nosso problema é:

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 ∂ T ∂ r = 1 α ∂ T ∂ t

Contudo, podemos fazer uma aproximação para a variação de temperatura no tempo, considerando ele igual a 50 K/s, conforme os dados da questão. Com isto, a nossa EDP se torna a seguinte EDO (lembrando que α = k / ρ c

1 r 2 d d r r 2 d T d r = ρ c k ⋅ 50

Lembrando que estamos falando de uma esfera, a qual é simétrica, temos a seguinte condição de contorno:

- k d T d r r = 0 = 0

Esta condição implica em dizer que não há condução de calor no seu centro. Agora, após fazermos todas essas considerações, podemos partir para a nossa questão!

Passo 2

Nosso passo agora é integrar a nossa EDO e utilizar a condição de contorno. Portanto, temos:

1 r 2 d d r r 2 d T d r = ρ c k ⋅ 50

d d r r 2 d T d r = 50 ⋅ ρ ⋅ c k r 2

r 2 d T d r = 50 ⋅ ρ ⋅ c 3 k r 3 + C 1

d T d r = 50 ⋅ ρ ⋅ c 3 k r + C 1

Agora, precisamos aplicar a nossa condição de contorno para descobrir quem é a constante. Logo,

d T d r = 0 = 50 ⋅ ρ ⋅ c 3 k ⋅ 0 + C 1 = C 1

C 1 = 0

Portanto, o termo d T / d r é:

d T d r = 50 ⋅ ρ ⋅ c 3 k r

Passo 3

Quase lá! Vamos lembrar a fórmula da transferência de calor na superfície da esfera. Ela é:

Q ˙ = - k A s u p d T d r

Percebam que acabamos de determinar o termo d T / d r ! Agora, só precisamos substituir na equação acima e substituir os valores da constante. Com isto, temos:

Q ˙ r = - k A s u p 50 ⋅ ρ ⋅ c 3 k r

Q ˙ r 0 = - 4 π r 0 2 50 ⋅ ρ ⋅ c 3 r 0

Q ˙ r 0 = - 4 ⋅ π ⋅ 50 ⋅ 7900 ⋅ 500 3 ⋅ 0,025 3

Q ˙ r 0 = 12,9   k W

OBS: apesar deste valor diferir do valor indicado pelo livro, este é o valor correto!

Resposta

Q ˙ r 0 = 12,9   k W

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