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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 94

Considere uma extensa parede plana de comprimento L = 0,05   m . A superfície da parede em x = 0 é isolada, enquanto a superfície em x = L é mantida a uma temperatura de 30 °C. A condutividade térmica da parede é k = 30   W / m ⋅ K , e o calor é gerado a uma taxa de e ˙ g e r = e ˙ 0 e - 0,5 x / L   W / m 3 , onde e ˙ 0 = 8 ⋅ 10 6   W / m . Considerando que a transferência de calor é unidimensional e permanente, (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para a condução de calor através da parede, (b) obtenha a relação para a variação da temperatura na parede resolvendo a equação diferencial e (c) determine a temperatura da superfície da parede.

Passo 1

O nosso primeiro passo é fazer considerações para resolver o nosso problema. Sendo assim, temos um problema de regime permanente, com condução de calor unidimensional, geração de calor e condutividade térmica constante.

Como estamos trabalhando com uma placa, vamos utilizar o sistema de coordenadas retangular. Portanto, a EDO que rege o nosso problema é:

d 2 T d x 2 + e ˙ g e r k = 0

Agora, precisamos discutir as condições de contorno que o nosso problema está sujeito, os quais são dois. O primeiro é a parede isolante. Isto quer dizer que não há fluxo de calor quando x = 0 (percebam que estamos utilizando o sistema de coordenadas do desenho da questão). Desta forma, temos:

- k d T d x x = 0 = 0

Já a outra é condução de calor na outra superfície igual a convecção do fluido. Portanto, temos:

T L = T s = 30   ° C

Passo 2

Agora, precisamos resolver a nossa EDO e utilizar as condições de contorno, pois, determinar a variação de temperatura na placa nada mais é do que determinar a distribuição de temperatura nela. Portanto, temos:

d 2 T d x 2 = - e ˙ g e r k = - e ˙ 0 k e - 0,5 x L  

d T d x = 2 ⋅ L ⋅ e ˙ 0 k e - 0,5 x L + C 1

T x = - 4 ⋅ L 2 ⋅ e ˙ 0 k e - 0,5 x L + C 1 x + C 2

Agora, precisamos utilizar as condições de contorno para descobrir quem são as constantes que apareceram na nossa equação. Primeiro, para a superfície isolante, temos:

- k d T d x x = 0 = - k 2 ⋅ L ⋅ e ˙ 0 k e 0 + C 1 = - k 2 ⋅ L ⋅ e ˙ 0 k + C 1 = 0

C 1 = - 2 ⋅ L ⋅ e ˙ 0 k

Com isto, temos a seguinte distribuição de temperatura:

T x = - 4 ⋅ L 2 ⋅ e ˙ 0 k e - 0,5 x L - 2 ⋅ L ⋅ e ˙ 0 k x + C 2

Agora, vamos utilizar a outra condição de contorno para descobrir o termo C 2 . Portanto,

T L = - 4 ⋅ L 2 ⋅ e ˙ 0 k e - 0,5 - 2 ⋅ L 2 ⋅ e ˙ 0 k + C 2 = 30

C 2 = 4 ⋅ L 2 ⋅ e ˙ 0 k e - 0,5 + 2 ⋅ L 2 ⋅ e ˙ 0 k + 30

Desta forma, temos a seguinte distribuição de temperatura:

T x = - 4 ⋅ L 2 ⋅ e ˙ 0 k e - 0,5 x L - 2 ⋅ L ⋅ e ˙ 0 k x + 4 ⋅ L 2 ⋅ e ˙ 0 k e - 0,5 + 2 ⋅ L 2 ⋅ e ˙ 0 k + 30

Substituindo os valores, temos:

T x = - 2666,67 ⋅ e - 10 x - 26666,67 ⋅ x + 2666,67 ⋅ e - 0,5 + 1333,33 + 30

E é isto ai!

Passo 3

Agora, basta determinarmos a temperatura na superfície isolada. Sendo assim, basta substituir x = 0 na distribuição de temperaturas. Logo,

T 0 = - 2666,67 ⋅ e 0 - 26666,67 ⋅ 0 + 2666,67 ⋅ e - 0,5 + 1333,33 + 30

T 0 = 314   ° C

E é isto aí!

Resposta

  1. A EDO é:

    2. d 2 T d x 2 + e ˙ g e r k = 0

    E as condições de contorno são:

    - k d T d x x = 0 = 0

    T L = T s = 30   ° C

  2. A distribuição de temperatura na placa é:

    3. T x = - 4 ⋅ L 2 ⋅ e ˙ 0 k e - 0,5 x L - 2 ⋅ L ⋅ e ˙ 0 k x + 4 ⋅ L 2 ⋅ e ˙ 0 k e - 0,5 + 2 ⋅ L 2 ⋅ e ˙ 0 k + 30

    Ou

    T x = - 2666,67 ⋅ e - 10 x - 26666,67 ⋅ x + 2666,67 ⋅ e - 0,5 + 1333,33 + 30

  3. A temperatura na superfície isolada é

T 0 = 314   ° C

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