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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 45

Uma placa de alumínio, com 4   m m de espessura, encontra-se na posição horizontal e a sua superfície inferior está isolada termicamente. Um fino revestimento especial é aplicado sobre sua superfície superior de tal forma que ela absorva 80 % de qualquer radiação solar nela incidente, enquanto tem uma emissividade de 0,25. A densidade ρ e o calor específico c do alumínio são conhecidos, sendo iguais a 2700   k g / m 3 e 900   J / ( k g · K ) , respectivamente.

a) Considere condições nas quais a placa está à temperatura de 25°C e a sua superfície superior é subitamente exposta ao ar ambiente a T ∞   =   20 ° C e à radiação solar que fornece um fluxo incidente de 900   W / m 2 . O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a superfície e o ar é de h = 20   W / ( m 2 · K ) . Qual é a taxa inicial da variação da temperatura da placa?

b) Qual será a temperatura de equilíbrio da placa quando as condições de regime estacionário forem atingidas?

Passo 1

Letra a)

Para iniciarmos a questão devemos escrever e analisar o balanço de energia:

E ˙ a c u m = E ˙ e n t - E ˙ s a i

Abrindo a equação do balanço:

ρ L c d T d t = G a b s - ( E + q c o n v ' ' )

ρ L c d T d t = α G - ε σ T s 4 - h ( T s - T ∞ )

Isolando a derivada d T d t :

d T d t = α G - ε σ T s 4 - h T s - T ∞ ρ L c

Passo 2

Dados:

α = 80 % = 0,8 ;

G = 900   W / m 2 ;

ε = 0,25 ;

T s = 25 ° C = 298   K ;

L = 4   m m = 0,004   m ;

T ∞ = 20 ° C = 293   K ;

h = 20   W / m 2 ⋅ K ;

ρ = 2700   k g / m 3 ;

σ = 5,67 x 10 - 8   W / m 2 ⋅ K 4 ;

c = 900   J / k g ⋅ K .

Substituindo na equação obtida no Passo 1:

d T d t = 0,8 ⋅ 900 - 0,25 ⋅ 5,67 x 10 - 8 ⋅ 298 4 - 20 ⋅ 298 - 293 2700 ⋅ 0,004 ⋅ 900

d T d t = 720 - 111,8 - 100 9720

d T d t = 0,0523   ° C / s

A taxa inicial da variação da temperatura da placa é de 0,0523   ° C / s .

Passo 3

Letra b)

Para calcularmos a temperatura de equilíbrio da placa sob a condição de regime estacionário devemos aplicar a equação do balanço de energia sem a presença de acumulo:

E ˙ a c u m = E ˙ e n t - E ˙ s a i

0 = E ˙ e n t - E ˙ s a i

0 = G a b s - ( E + q c o n v ' ' )

0 = α G - ε σ T s 4 - h ( T s - T ∞ )

α G = ε σ T s 4 + h ( T s - T ∞ )

Substituindo os dados já apresentados, queremos descobrir o novo T s :

0,8 ⋅ 900 = 0,25 ⋅ 5,67 x 10 - 8 ⋅ T s 4 + 20 ⋅ ( T s - 293 )

720 = 1,42 x 10 - 8 T s 4 + 20 T s - 5860

6580 = 1,42 x 10 - 8 T s 4 + 20 T s

Com auxílio de programas matemática, obtemos que:

T s = 322   K = 49 ° C

A temperatura de equilíbrio da placa quando as condições de regime estacionário forem atingidas é de 49 ° C .

Resposta

d T d t = 0,0523   ° C / s

T s = 322   K = 49 ° C

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