Enunciado

É possível acelerar um fluido até velocidades supersônicas com uma velocidade diferente da velocidade sônica na garganta? Explique.

Passo 1

Fala, galera! Estão focados nos estudos? Que tal fazer uma questão sobre escoamento supersônico em em bocal convergente-divergente?

A questão pergunta se é possível fazer um fluido ultrapassar a velocidade do som c usando um bocal convergente-divergente, se a velocidade V do fluido na garganta é menor que a velocidade do som c V < c .

A figura abaixo mostra o bocal e as informações que temos para resolver a questão.

M a é o número de Mach na garganta. Ele é menor que 1 , porque o enunciado quer saber o que acontece com a velocidade do fluido, quando M a não alcança o valor 1 (o fluido não alcança velocidade sônica). V s é a velocidade do fluido na saída do bocal.

O problema quer saber então se V s pode ser maior que c , quando V é menor que c .

Descobriremos a resposta usando a lei de conservação de massa na parte divergente do bocal.

Passo 2

Pela figura abaixo vemos que saber se podemos aumentar a velocidade para além da velocidade do som c é o mesmo que tentar descobrir se a velocidade de saída do fluido V s pode ser maior que a velocidade de entrada do fluido V na parte divergente do bocal.

Afinal de contas, se V s não consegue ser mais que V , como ela será maior que c ?

Para descobrir se V s > V , temos que usar duas equações. Uma delas é a lei da conservação de massa, que diz que a vazão mássica m ˙ que entra na parte divergente tem que ser igual a vazão em massa m ˙ s que sai da parte divergente. A outra é a equação da vazão mássica, que diz que a vazão mássica m ˙ é a multiplicação entre ρ , V e A .

m ˙ = m ˙ s       ⟹       ρ ⋅ V ⋅ A = ρ s ⋅ V s ⋅ A s

onde ρ é a densidade do fluido entrando na parte divergente, ρ s é a densidade do fluido saindo da parte divergente, A é a área de entrada da parte divergente (área menor), A s é a área de saída da parte divergente (área maior), V é a velocidade de entrada do fluido e V s é a velocidade de saída do fluido.

Reorganizando a equação acima, encontramos uma expressão para a velocidade V 2 .

ρ ⋅ V ⋅ A = ρ s ⋅ V s ⋅ A s       ⟹       V s = ρ ⋅ V ⋅ A ρ s ⋅ A s

Como a área de entrada A é menor que a área de saída A s , V s é menor que V . Isso significa que a velocidade V diminui confome o fluido atravessa o parte divergente do bocal. Em outras palavras, V não aumenta e não consegue ultrapassar a velocidade do som c pro escoamento virar supersônico.

Resposta

V não aumenta e não consegue ultrapassar a velocidade do som c pro escoamento virar supersônico, como é observado na equação de conservação de massa aplicada á parte divergente do bocal.

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