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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 172

O problema 8.171 descreve uma situação na qual o escoamento em uma longa tubulação, partindo de um tanque elevado, é lentamente reduzido para evitar um aumento grande de pressão (golpe de aríete). Estenda essa análise para predizer e traçar graficamente a programação de fechamento (coeficiente de perda da válvula versus tempo) necessária para manter a pressão máxima na válvula igual ou abaixo de um dado valor durante o processo de interrupção de escoamento do tanque.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Bem, assim como no problema 8.171, para fluxo instável com atrito, modificamos a equação de Bernoulli instável para incluir um termo de perda de carga:

P 1 ρ ∙ g +   α 1 ∙ V 1 2 2 g + z 1 =   P 2 ρ ∙ g +   α 2 ∙ V 2 2 2 g + z 2   +   ∫ 1 2 ∂ V s ∂ t d s + h l t

O esboço acima demonstra o esquema de como pode ser analisado a longa tubulação partindo de um tanque elevado.

Consideremos:

α 1   e   α 2 = 1 ;

V 1 = 0

P 1 = P a t m

ρ = c t e

Então:

∫ 1 2 ∂ V s ∂ t d s = Δ P ρ + g Δ z - V 2 2 - h l t

Passo 2

Sabe-se que:

V = 4 Q π D 2 = 4 * 0,0417 π * 0,2 2 = 1,32 m s

E:

h l t = 23 m = h t l g = f L V 2 2 g D     → f L D = h t l 2 g V 2 = 2 * 23 * 9,81 1,32 2   → f L D = 259  

Se negligenciarmos a velocidade no tanque, exceto para uma pequena região próxima à extremidade do cano:

∫ 1 2 ∂ V s ∂ t d s = L d V 2 d t

Então:

d V d t = 1 L - P 2 ρ + g Δ z - f L V 2 2 D - V 2 2

Substituindo valores:

d V d t = 1 3000 - 10 6 0,88 * 999 + 9,81 * 54 - 259 + 1 V 2 2

Então:

d V d t = - 0,2026 - 0,043   V 2   →   - ( a 2 + b 2 V 2 )

Onde: a = 0,2026   =   0,45

b =   0,043 = 0,21  

A integral fica da seguinte forma:

∫ V 0 V d V a 2 + b 2 V 2 = 1 a b tan - 1 ⁡ b V A   V 0 V = 1 a b tan - 1 ⁡ b v a - tan - 1 ⁡ b V 0 a = - ∫ 0 t d t = - t              

Ou:

V ( t )   =   a b tan ⁡ tan - 1 ⁡ b V 0 a - a b t     ( 1 )

A pressão cai mais através da válvula:

P 2 ρ +   α 2 ∙ V 2 2 2 + g z 2 -   P 3 ρ +   α 3 ∙ 3 2 2 + g z 3 = h t l = K V V 2 2     o u         K V = 2 P 2 ρ V 2     ( 2 )

Para t=0;

K V = 2 * 10 6 999 * 0,88 * 1,32 2 = 1035,67   ( t = 0 )

Resposta

Fazemos a tabela para cada tempo estimado, com sua respectiva velocidade e K V :

Assim:

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