Projete um experimento para medir a viscosidade de líquidos usando um funil vertical com um reservatório cilíndrico de altura h e uma seção de escoamento estreita de diâmetro D e comprimento L. Fazendo hipóteses apropriadas, deduza uma expressão para viscosidade em função de quantidades facilmente mensuráveis tais como densidade e vazão volumétrica.

A viscosidade determina o quanto um líquido se deforma sob uma tensão de cisalhamento

A tensão de cisalhamento também pode ser dada a partir da força que o fludo faz na área das paredes do tubo, .

A área do tubo pode ser dada por:

A força, , também é dada pela seguinte equação:

Substituindo:

Onde é a massa de fluido presente no tubo abaixo do funil em um tempo e

Pra a gente descobrir a massa, vamos fazer um balanço de massa. A vazão mássica de entrada () é a vazão mássica que entra é a vazão mássica no ponto 1 e não existe vazão mássica de saida, já que o fluido fica confinado no recipiente. Escrevendo o balanço de massa, temos:

Jogando o para o outro lado e integrando os dois lados, temos:

Resolvendo a integral:

Porém a massa que a gente quer é a massa presente em toda a área do tubo abaixo do funil, para isso fazemos:

Substituindo na nossa equação original:

também é dado por:

Onde é a viscosidade do fluido, é a velocidade que passa pela área de secção transversal do tubo, . A área pode ser escrita como:

Substituindo na equação original :

Arrumando:

Agora precisamos integrar!!!!

Passando para o outro lado:

Integrando dos dois lados:

Resolvendo a integral:

Agora essa velocidade a gente pode determinar, usando a vazão volumétrica:

Onde é o volume de fluido depositado no reservatório cilindrico e é o tempo total de escoamento. Outra forma de determinar a vazão volumétrica é:

Onde é a velocidade do fluido e é a área de secção transversal do tubo por onde o fluido passa. Igualando e isolando , temos:

Agora substituindo a velocidade na equação anterior:

Arrumando e isolando :

Arrumando:

Prontinho!!!