Enunciado

Um tubo convergente-divergente, chamado Venturi, desenvolve um escoamento de baixa pressão na garganta capaz de aspirar fluido para cima de um reservatório, como na Figura P3.161. Aplicando a equação de Bernoulli sem perdas, deduza uma expressão para a velocidade V 1 suficiente para começar a trazer fluido do reservatório para a garganta.

Passo 1

Essa questão pede basicamente para encontrarmos uma expressão para V 1 , então vamos utilizar a sempre útil equação de Bernoulli:

p 1 + ρ 2 V 1 2 + ρ g z 1 = p 2 + ρ 2 V 2 2 + ρ g z 2

Antes de tudo bora esclarecer algumas coisas. Vamos escolher o nosso ponto 1 como um ponto na garganta do tubo de Venturi e o ponto 2 será um ponto na mesma altura que o ponto 1, ou seja, ∆ z = 0 .

Para que o fluido do reservatório seja aspirado para cima, a pressão no reservatório ( p a t m ) deve ser maior que a pressão na garganta do tubo. Sendo assim a pressão hidrostática mínima entre um ponto na garganta do tubo e um ponto no reservatório será:

p 1 - p a t m = - ρ g h

p 1 = p a t m - ρ g h

Passo 2

Utilizando a equação da continuidade, vamos conseguir uma relação entre V 1 e V 2 :

Q 1 = Q 2

A 1 V 1 = A 2 V 2

π D 1 2 V 1 4 = π D 2 2 V 2 4

V 2 = V 1 D 1 D 2 2

Passo 3

Substituindo todas estas expressões na equação de Bernoulli e fazendo alguns ajustes vamos ter:

p 1 + ρ 2 V 1 2 + ρ g z 1 = p 2 + ρ 2 V 2 2 + ρ g z 2

p a t m - ρ g h + ρ 2 V 1 2 = p a t m + ρ 2 V 1 2 D 1 D 2 4

ρ 2 V 1 2 - ρ 2 V 1 2 D 1 D 2 4 = ρ g h

V 1 2 1 - D 1 D 2 4 = 2 g h

V 1 = 2 g h 1 - D 1 D 2 4

Ou seja, está é a expressão da velocidade mínima em 1 para que a água seja aspirada. Valores maiores que V 1 também irão aspirar o fluido.

Resposta

V 1 = 2 g h 1 - D 1 D 2 4

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