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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 57

Um tubo horizontal tem uma expansão abrupta de D 1 = 8   c m para D 2 = 16   c m . A velocidade da água na seção menor é de 10   m / s e o escoamento é turbulento. A pressão na seção menor é de P 1 = 300   k P a . Tomando o fator de correção da energia cinética como 1,06 na entrada e na saída, determine a pressão a jusante P 2 e estime o erro que teria ocorrido se a equação de Bernoulli tivesse sido usada.

Passo 1

Temos que determinara a pressão de saída após uma abrupta expansão.

Para isto utilizaremos a equação do balanço energético para determinar pressão de saída, mas para podemos utilizar está equação, falta determinar a velocidade de saída, o coeficiente de perdas menores e a perda menor devido a esta expansão.

Assumindo que o fluxo é constante, horizontal, incompressível.

Temos a densidade da água como ρ = 1000   k g / m 3 .

Passo 2

Como dito anteriormente temos que determinar algumas coisas antes de utilizara equação do balanço, vamos determinar a velocidade de saída:

Como assumimos que o fluxo é constante e incompressível, pela conservação de massa, o fluxo de massa de entrada é o mesmo fluxo de massa de saída.

m ˙ 1 = m ˙ 2

A 1 ∙ ρ ∙ V 1 = A 2 ∙ ρ ∙ V 2

Isolando V 2 :

V 2 = A 1 A 2 ∙ V 1

V 2 = π D 1 2 4 π D 2 2 4 ∙ 10

V 2 = 0,08 2 0,16 2 ∙ 10 = 2,5   m / s

Passo 3

Vamos determinar o coeficiente de perda desta expansão abrupta.

O coeficiente da expansão é definido pela seguinte fórmula:

K L = α ∙ 1 - D 1 2 D 2 2 2

Como enunciado nos informou que o tipo de escoamento é turbulento, portanto, temos α = 1,05 , você pode conferir na tabela 8-4.

Substituindo valores:

K L = 1,05 ∙ 1 - 0,08 2 0,16 2 2 = 0,59

Temos o coeficiente de perda, podes determinar a perda de carga h L :

h L = K L ∙ V 1 2 2 g

h L = 0,59 ∙ 10 2 2 ∙ 9,81 = 3,01   m

Passo 4

Após todos nossos cálculos podemos utilizar a fórmula do balanço energético e determinar P 2 . Antes vamos deixar claro que devido o fluxo ser horizontal não possui diferenças de nível, portanto, z 1 = z 2 .

P 1 ρ g + α 1 V 1 2 g + z 1 + h b o m b a ,   u t = P 2 ρ g + α 2 V 2 2 2 g + z 2 + h t u r b i n a , e + h L

Simplificando a equação:

P 1 ρ g + α 1 ∙ V 1 2 2 g = P 2 ρ g + α 2 V 2 2 g + h L

Isolando P 2 :

P 2 = P 1 + ρ ∙ α 1 ∙ V 1 2 - α 2 ∙ V 2 2 2 - g h L

Substituindo valores:

P 2 = 300 ∙ 10 3 + 1000 ∙ 1,06 ∙ 10 2 - 1,06 ∙ 2,5 2 2 - 9,81 ∙ 3,01 = 320,1594   k P a

P 2 = 320,1594   k P a

Passo 5

Temos que estimar o erro que teria ocorrido se a equação de Bernoulli tivesse sido usada.

Equação de Bernoulli é definida por:

P 1 ρ g + V 1 2 g + z 1 = P 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2

Simplificando e isolando a pressão de saída:

P 1 ρ g + V 1 2 g = P 2 ρ g + V 2 2 2 g

P 2 = P 1 + ρ ∙ V 1 2 - V 2 2 2

Substituindo valores:

P 2 = 300 ∙ 10 3 + 1000 ∙ 10 2 - 2,5 2 2

P 2 = 346,875   k P a

Teríamos um erro de

e r r o = 346,875   k - 320,1594   k = 26,715   k P a

Em de erro percentual seria:

e r r o % = a p r o x i m a d o - e x a t o e x a t o

e r r o % = 346,875   k - 320,1594   k 320,1594   k = 0,08344 ≅ 8,3 %

Resposta

Pressão de saída:

P 2 = 320,1594   k P a

Pressão de saída com Bernoulli:

P 2 = 346,875   k P a

Erro percentual:

e r r o % = 8,3 %

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