Enunciado

Usando coordenadas cartesianas, mostre que cada componente de velocidade ( u ,   v ,   w ) de um escoamento potencial satisfaz a equação de Laplace separadamente.

Passo 1

E aí, tudo bem? Bora matar essa questão rapidinho!

Nosso problema pede uma pequena demonstração, vamos lá!

Para cada componente de velocidade temos:

∇ 2 u = ∇ 2 ∂ ϕ ∂ x = ∂ ∂ x ∇ 2 ϕ

Opa, mas a equação 8.2 nos diz que:

∇ 2 ϕ = 0

Assim:

∂ ∂ x 0 = 0

∇ 2 u = 0

Da mesma forma para as demais coordenadas:

∇ 2 v = ∇ 2 ∂ ϕ ∂ y = ∂ ∂ y ∇ 2 ϕ

∂ ∂ y 0 = 0

∇ 2 w = ∇ 2 ∂ ϕ ∂ z = ∂ ∂ z ∇ 2 ϕ

∂ ∂ z 0 = 0

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

∇ 2 x ,   y ,   z = ∇ 2 ∂ ϕ ∂ x ,   y ,   z = ∂ ∂ x ,   y ,   z ∇ 2 ϕ = 0

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