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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 46

If a vertical wall at temperature Tw is surrounded by a fluid

at temperature T0, a natural convection boundary layer flow

will form. For laminar fl ow, the momentum equation is

ρ(u

0u

0x

1 υ

0u

0y

) 5 ρβ(T 2 T0)g 1 µ 02u

0y2

to be solved, along with continuity and energy, for (u, v, T)

with appropriate boundary cond i tions. The quantity β is

the thermal expansion coeffi cient of the fl uid. Use ρ, g, L,

and (Tw2T0) to nondimensionalize this equation. Note that

there is no “stream” velocity in this type of flow

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Escreva a escala de velocidade de expressão, a escala de comprimento e a escala de temperatura usando as variáveis ρ , g , L e T w - T 0 da seguinte maneira:

V escalada   = g L L escalada   = L T escalada   = T w - T 0

Passo 2

Considere as variáveis adimensionais da seguinte maneira:

x * = x L x = x * L y * = y L y = y * L u * = u g L u = u * g L v * = v g L v = v * g L T * = T - T 0 T w - T 0 T - T 0 = T * T w - T 0

Passo 3

Escreva a equação de momento para o fluxo laminar na forma dimensional da seguinte forma:

ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = ρ β T - T 0 g + μ ∂ 2 u ∂ y 2

Substitua x * L   p a r a , x * L para y , u * g L para u , v * g L para v e T * T w - T 0 para T - T 0

ρ u * g L ∂ u * ∂ x * g L L + v * g L ∂ u * ∂ y * g L L = ρ β g T * T w - T 0 + μ ∂ 2 u * ∂ y * 2 g L L 2 ρ u * ∂ u * ∂ x * g L L + v * ∂ u * ∂ y * g L L = ρ β g T * T w - T 0 + μ ∂ 2 u * ∂ y * 2 g L L 2 u * ∂ u * ∂ x * + v * ∂ u * ∂ y * = β T * T w - T 0 + μ ρ g ∂ 2 u * ∂ y * 2 g L L 2 u * ∂ u * ∂ x * + v * ∂ u * ∂ y * = β T * T w - T 0 + μ ρ L g L ∂ 2 u * ∂ y * 2

Portanto, a equação de momento não dimensional para o fluxo laminar é

u * ∂ u * ∂ x * + v * ∂ u * ∂ y * = β T * T w - T 0 + μ ρ L g L ∂ 2 u * ∂ y * 2

onde a viscosidade dinâmica não dimensional é μ ρ L g L

Resposta

u * ∂ u * ∂ x * + v * ∂ u * ∂ y * = β T * T w - T 0 + μ ρ L g L ∂ 2 u * ∂ y * 2

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