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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 46

A equação diferencial para o escoamento não viscoso compressível de um gás no plano x y é

∂ 2 ϕ ∂ t 2 + ∂ ∂ t u 2 + v 2 + u 2 - a 2 ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + v 2 - a 2 ∂ 2 ϕ ∂ y 2 + 2 u v ∂ 2 ϕ ∂ x ∂ y = 0

na qual ϕ é o potencial de velocidade e a é a velocidade (variável) do som do gás. Adimensionalize essa relação, usando um comprimento de referência L e a velocidade do som de entrada a 0 como parâmetros para definir variáveis adimensionais.

Passo 1

Para resolver esta questão basta adimensionalizar as variáveis utilizando as constantes de escala dadas no exercício:

x * = x L ;

y * = y L ;

u * = u a 0 ;

v * = v a 0 ;

a * = a a 0 ;

ϕ * = ϕ a 0 L ;

t * = a 0 t L .

Substituindo os parâmetros na equação dada no problema pelos parâmetros adimensionais:

∂ 2 ϕ ∂ t 2 + ∂ ∂ t u 2 + v 2 + u 2 - a 2 ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + v 2 - a 2 ∂ 2 ϕ ∂ y 2 + 2 u v ∂ 2 ϕ ∂ x ∂ y = 0

∂ 2 ( a 0 L ϕ * ) ∂ L t * a 0 2 + ∂ ∂ L t * a 0 a 0 u * 2 + a 0 v * 2 + a 0 u * 2 - a 0 a * 2 ∂ 2 ( a 0 L ϕ * ) ∂ L x * 2 + a 0 v * 2 - a 0 a * 2 ∂ 2 ( a 0 L ϕ * ) ∂ L y * 2 + 2 a 0 u * a 0 v * ∂ 2 a 0 L ϕ * ∂ L x * ∂ L y * = 0

a 0 L L 2 a 0 2 ∂ 2 ϕ * ∂ t * 2 + a 0 2 L a 0 ∂ ∂ t * u * 2 + v * 2 + a 0 2 a 0 L L 2 u * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ x * 2 + a 0 2 a 0 L L 2 v * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ y * 2 + 2 a 0 2 a 0 L L 2 u * v * ∂ 2 ϕ * ∂ x * ∂ y * = 0

a 0 3 L ∂ 2 ϕ * ∂ t * 2 + a 0 3 L ∂ ∂ t * u * 2 + v * 2 + a 0 3 L u * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ x * 2 + a 0 3 L v * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ y * 2 + 2 a 0 3 L u * v * ∂ 2 ϕ * ∂ x * ∂ y * = 0

Multiplicando todos os termos por L e dividindo por a 0 3 :

∂ 2 ϕ * ∂ t * 2 + ∂ ∂ t * u * 2 + v * 2 + u * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ x * 2 + v * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ y * 2 + 2 u * v * ∂ 2 ϕ * ∂ x * ∂ y * = 0

Resposta

A equação adimensionalizada é:

∂ 2 ϕ * ∂ t * 2 + ∂ ∂ t * u * 2 + v * 2 + u * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ x * 2 + v * 2 - a * 2 ∂ 2 ϕ * ∂ y * 2 + 2 u * v * ∂ 2 ϕ * ∂ x * ∂ y * = 0

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