entre as bases do cilindro.

Por definição, a resistência de um resistor é dada por:

Nesse caso, será a área da coroa circular de raios e .

Portanto:

Por definição, a densidade de corrente é dada por:

Usando a Lei de Ohm, podemos dizer que:

Lembrando que:

Logo:

entre as superfícies interna de raio e a externa de raio .

A ideia aqui é bem parecida com o que fizemos antes, a diferença é que, como a corrente agora flui radialmente, vamos ter que mudar a forma de calcular a resistência.

Vamos começar dividindo o cilindro em camadas cilíndricas de largura . Cada cilindro terá resistência , dada por:

agora será a área lateral do cilindro.

Logo:

Pra encontrar uma expressão pra , precisamos integrar esse cara, onde :

Pra calcular a densidade de corrente, vamos usar a mesma ideia que usamos anteriormente:

Lembrando que:

Logo:

Determine a dimensão da constante no Sistema Internacional de Unidades.

Vambora!

O aparece na fórmula da resistividade dada pelo problema, certo?

A única coisa que temos que fazer é analisar as dimensões que sabemos aqui.

Logo:

Logo, a dimensão de é Ohm.

Calcule a resistência elétrica da camada esférica na direção radial.

Como essa geometria é diferente da qual estamos acostumados, vamos começar pensando em uma camada infinitesimal, de resistência , espessura e área . Pela definição de resistência:

Agora ficou mais tranquilo... só temos que integrar esse cara nos limites .

O problema já nos disse que , logo, substituindo na expressão acima:

Uma diferença de potencial é aplicada entre as duas superfícies. Supondo que o potencial maior seja o da superfície interna, calcule a corrente e o vetor densidade de corrente.

Opa! Pra calcular a corrente ficou tranquilo, porque já temos a resistência e o problema falou da diferença de potencial .

Então é só usar a Lei de Ohm e ser feliz.

Se o potencial maior é o da superfície interna, isso quer dizer que a corrente flui da superfície interna para a superfície externa... isso que dizer que o vetor densidade de corrente vai estar na direção radial, de dentro para fora.

Por definição, a densidade de corrente é dada por:

Como aqui a área vai depender do raio , basta substituir isso na fórmula acima.

Logo:

Pra finalizar, basta substituir aqui a expressão que encontramos para a corrente ali em cima.

Simplificando:

Então, pessoal! Temos mais um condutor, dessa vez em forma de tronco de cone.

Os dados foram:

Só com isso a gente consegue calcular? Acho que sim, né? Vamos lá!

A gente sabe, pela Lei de Ohm, que .

Como a corrente ta fluindo entre as bases, deveremos usar:

Mas e essa área em função de aí como a gente calcula?

Cara, como o condutor diminui de raio linearmente fica até fácil de calcular, e com uma função bem tranquila, de 1° grau mesmo.

É só achar essas constantes. Como a gente faz isso? Substituindo valores que a gente já sabe, as extremidades.

Considerando a origem , ou seja, no ponto em que a seção tem raio , teremos:

Quando teremos:

Logo

Como , teremos que:

Agora usando a nossa integral linda lá, teremos:

Vixe! Que feio! Mas lembra que isso aí era algo do tipo

Substituindo os valores, encontraremos:

1. Calcule o vetor densidade de corrente na região entre as cascas .

Sabendo que a corrente sai da placa maior da fonte (ali na esquerda da figura), corre o circuito e volta para a placa menor, a gente consegue ver que a corrente vai fluir da casca menor para a casca maior.

Beleza! Além disso, a densidade de corrente está relacionada com a corrente através da seguinte equação:



Agora é só resolver a integral e acabou!

Já sabemos que a resistividade depende de ... logo, a densidade de corrente também vai depender de .

A integral vai ser exatamente a área da superfície , de raio . Portanto:

Ah! Você só não pode esquecer de um detalhe muito importante... o problema pediu pra calcular o vetor densidade de corrente. Então faltou especificarmos a direção e o sentido da corrente.

A parada é que nós acabamos falando disso aqui em cima. Quando falamos que a corrente vai fluir da casca esférica menor para a casca esférica maior, no fundo nós falamos que a densidade de corrente tem a direção radial, apontando pra fora... do mesmo jeito que representamos na última figura.

Portanto:

Passo 2

2. Usando a lei de Ohm, determine o vetor campo elétrico entre as cascas esféricas.

Vamos lá! A lei de Ohm nos permite relacionar a densidade de corrente com o campo elétrico através da seguinte equação:

Onde é a resistividade. Agora ficou fácil para nós!

Só vamos ter o trabalho de substituir o que o problema nos disse e o que achamos no passo 1.

Passo 3

3. Calcule a resistência desse sistema em função de , e .

Beleza... o melhor caminho pra calcular essa resistência é através da relação:

Mas pra isso nós temos que encontrar a diferença de potencial . Pô! Mas na letra (b) nós calculamos o campo elétrico, certo?

Show! Podemos relacionar o campo elétrico com o potencial pela expressão:

Voltando pra nossa primeira relação:

a) A situação que a gente tem nesse caso é dado na Figura abaixo. Se a corrente atravessa a região entre as esferas condutoras no sentido radial, então ela atravessa uma área de e um elemento de comprimento.

Por isso, ao atravessar esse comprimento com área , a resistência oferecida à corrente nesse trajeto é dada por

Agora, para sabermos a resistência total, temos que integrar de , raio da esfera interna, até , que é o raio da esfera externa e isso nos dá que

Simplificando um pouco mais a expressão anterior, temos

b) Sabemos que a densidade de corrente é dada por , sendo que ( ) é o raio de superfície esférica através da qual a corrente passa.

Mas, como e temos a resistência dada no item (a), a densidade de corrente pode ser reescrita como

expressão que simplificada resulta em

c) Fazendo a distância pequena, temos que a resistência total é dada por

em que é a área da esfera interna.

a) De acordo com a Figura abaixo, a resistência infinitesimal pode ser escrita como

Onde a area é a área da seção reta do cilindro que é um círculo:

Agora, repara que a gente não conhece os valores das constantes e . Para encontrá-los, sabemos, pelo enunciado, que

e que

Resolvendo a última equação acima utilizando o valor de obtido com , temos

Portanto,

Essa é a nossa expressão para a resistividade!

Substituindo os valores das constantes na integral e integrando em todo o comprimento do cilindro teremos:

onde tiramos o da integral, pois esse valor é fixo ao longo de todo o cilindro. Ok? Fica atento, porque se fosse um tronco de cone, por exemplo, esse raio poderia variar ao longo do eixo . Mas aqui neste caso, é fixo, o que facilita nossa vida…

Continuando com a integral acima, quando a resolvemos, obtemos que a resistência total do cilindro é

Substituindo os valores do raio do cilindro e do comprimento , encontramos o valor da resistência .

b) A gente viu que a lei de Ohm mostra que , ou seja, ela mostra uma relação de proporcionalidade entre o campo elétrico e densidade de corrente . Mas o que precisamos encontrar neste item é o campo no ponto , que é dado por

Portanto, como foi um valor dado e conhecemos a área, só precisamos encontrar a resistividade nesse ponto:

E substituindo o valor do comprimento teremos:

E assim, encontramos o campo elétrico

E substituindo o raio do cilindro e a corrente , teremos:

c) Considerando que a primeira metade do cilindro tem resistência , teremos que mudar o limite superior de integração lá do Passo 1 para obter que

Substituindo os valores do enunciado, teremos que

Essa é a resistência da primeira metade do cilindro.

Agora, para obter qual é a resistência da segunda metade do cilindro que vai de a , a gente precisa subtrair da resistência total , ou seja,

Portanto, a segunda metade tem uma resistência maior que a primeira.

É claro que uma outra alternativa aqui é pegar a integral lá do Passo 1 e mudar o limite inferior de integração para e o limite superior para . Isso tem que dar o mesmo valor que a gente obteve acima e é uma boa forma de você também treinar o raciocínio.

a) Como mostramos na Figura abaixo, o que temos é um material com área constante, com resistividade que varia exponencialmente ao longo do eixo .

Por isso, o elemento de resistência , quando integrado de a , resulta em

Aqui, a área foi retirada da integral porque é constante ao longo de todo o comprimento da barra. Fica atento a isso, porque podem aparecer exercícios na sua vida aí em que a área pode mudar!!!

Voltando lá na integral e resolvendo, a gente chega em

que , nesse caso, fornece o valor da resistência total da barra de comprimento .

Com isso, a corrente é obtida como

Agora, para um valor de arbitrário, temos que a resistência é dada por

b) Sabemos, pela lei de Ohm, que

que, se simplificamos, teremos que

c) Quando , o enunciado fala para a gente que o potencial é . Após a corrente atravessar um comprimento da barra, teremos uma queda de potencial igual a por causa do material da barra. Portanto, o potencial depois de a corrente percorrer uma distância da barra é dado por

Substituindo os valores de e que encontramos, teremos

Essa expressão simplificada fica assim