Densidade de Corrente Variável
Produzido por Bruno SoaresTeoria
Densidade de Corrente Não-Uniforme
Até agora a gente só viu fios nos quais a corrente é distribuída toda igualmente pela área do fio certo? E se eu te dissesse que é possível a corrente se concentrar mais em uma parte da área do fio do que em outra, como calcular a corrente que passa pelo fio se ela não tem um padrão?
Se liga nessas duas distribuições da corrente passando pela área da seção transversal do fio:
O fio onde a corrente é uniforme possui densidade de corrente constante e por isso o cálculo da corrente fica desse jeito aqui:
Pensa comigo... e se a corrente elétrica não estiver uniformemente distribuída na seção reta do condutor? O que eu faço?
Nesse caso, podemos calcular a corrente da seguinte forma:
Onde é o escalar infinitesimal da corrente, é o vetor densidade de corrente e é o vetor infinitesimal área que é perpendicular à área da seção transversal do fio.
E se quisermos calcular a corrente que passa numa determinada área faremos o seguinte:
Onde temos um produto escalar entre os vetores e e por isso podemos fazer o seguinte:
E enfim integrando temos a corrente:
Ou se preferir:
Eu sei que você está pensando: “Sério mesmo que apareceu uma integral dupla aí?!”.
Calma... na prática, nós temos como dar uma simplificada nisso, se liga.
Condutor de Seção Transversal Circular
Na maioria das vezes o fio tem forma circular, e quais considerações poderemos fazer nesses casos? Vamos ver calculando a corrente pro seguinte fio sabendo que a densidade de corrente é
A gente sabe que pra encontrar a corrente precisamos fazer a seguinte integral.
A primeira coisa importante é que o vetor será paralelo ao vetor e teremos uma facilitação nas nossas contas pois nesse caso .
Na maioria dos casos o vetor densidade de corrente tá na direção do vetor .
Olhando a figura a gente pode ver que ambos os vetores são normais ao plano, portanto paralelos entre si.
Daí a integral fica:
Dali só falta a gente encontrar o infinitesimal da área, pra isso vamos pegar a equação da área do círculo:
Derivando dos dois lados temos:
O infinitesimal que aparece é a variação do raio ao longo da circunferência, se liga:
Fazendo essa substituição nós podemos transformar a integral dupla em simples pois não teremos que integrar em relação ao ângulo.
Se liga aí que o tá dentro da integral, por quê? Porque estamos trabalhando com uma densidade de corrente variável, que varia ao longo da área conforme o raio.
Vamos substituir os valores e fazer a integral, se liga:
Integrando e substituindo os limites temos:
E enfim a corrente no fio é:
No geral os problemas vão trabalhar com seções circulares e daí é basicamente ir fazendo as substituições necessárias. Lembrando que a densidade de corrente variável será uma função do raio que precisa ser integrada, beleza? Bora pros exercícios?