Teoria

Densidade de Corrente Não-Uniforme

Até agora a gente só viu fios nos quais a corrente é distribuída toda igualmente pela área do fio certo? E se eu te dissesse que é possível a corrente se concentrar mais em uma parte da área do fio do que em outra, como calcular a corrente que passa pelo fio se ela não tem um padrão?

Se liga nessas duas distribuições da corrente passando pela área da seção transversal do fio:

O fio onde a corrente é uniforme possui densidade de corrente constante e por isso o cálculo da corrente fica desse jeito aqui:

I = J . A

Pensa comigo... e se a corrente elétrica não estiver uniformemente distribuída na seção reta do condutor? O que eu faço?

Nesse caso, podemos calcular a corrente da seguinte forma:

d I = J → . d A →

Onde d I   é o escalar infinitesimal da corrente, J → é o vetor densidade de corrente e d A → é o vetor infinitesimal área que é perpendicular à área da seção transversal do fio.

E se quisermos calcular a corrente que passa numa determinada área faremos o seguinte:

d I = J → ∙ d A →

Onde temos um produto escalar entre os vetores J → e d A → e por isso podemos fazer o seguinte:

d I = J d A c o s θ

E enfim integrando temos a corrente:

I = ∬ A   J → ∙ d A →

Ou se preferir:

I = ∬ A   J d A c o s θ

Eu sei que você está pensando: “Sério mesmo que apareceu uma integral dupla aí?!”.

Calma... na prática, nós temos como dar uma simplificada nisso, se liga.

Condutor de Seção Transversal Circular

Na maioria das vezes o fio tem forma circular, e quais considerações poderemos fazer nesses casos? Vamos ver calculando a corrente pro seguinte fio sabendo que a densidade de corrente é J → = 3 × 10 5 r A m 2 s ^ .  

A gente sabe que pra encontrar a corrente precisamos fazer a seguinte integral.

I = ∬ A   J → ∙ d A → = ∬ A   J . d A c o s ( θ )

A primeira coisa importante é que o vetor J → será paralelo ao vetor d A → e teremos uma facilitação nas nossas contas pois nesse caso θ = 0 .

Na maioria dos casos o vetor densidade de corrente tá na direção do vetor d A → .

Olhando a figura a gente pode ver que ambos os vetores são normais ao plano, portanto paralelos entre si.

Daí a integral fica:

I = ∬ A   J . d A c o s 0 = ∬ A   J d A

Dali só falta a gente encontrar o infinitesimal da área, pra isso vamos pegar a equação da área do círculo:

A = π r 2

Derivando dos dois lados temos:

d A = 2 π r d r

O infinitesimal d r que aparece é a variação do raio ao longo da circunferência, se liga:

Fazendo essa substituição nós podemos transformar a integral dupla em simples pois não teremos que integrar em relação ao ângulo.

I = ∫ 0 R J 2 π r d r = 2 π ∫ 0 R J r d r

Se liga aí que o J tá dentro da integral, por quê? Porque estamos trabalhando com uma densidade de corrente variável, que varia ao longo da área conforme o raio.

Vamos substituir os valores e fazer a integral, se liga:

J = 3 × 10 5 r A m 2 ;     R = 0,05 m  

I = 2 π ∫ 0 0,05 3 × 10 5 r r d r = 2 π ∫ 0 0,05 3 × 10 5 r ² d r

Integrando e substituindo os limites temos:

I = 2 π r 3 3 × 3 × 10 5 0 0,05 = 2 π 0,05 3 × 10 5

E enfim a corrente no fio é:

I = 78,54 A

No geral os problemas vão trabalhar com seções circulares e daí é basicamente ir fazendo as substituições necessárias. Lembrando que a densidade de corrente variável será uma função do raio que precisa ser integrada, beleza? Bora pros exercícios?

Condutor de Seção Transversal Circular

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