Rolamento sem Deslizamento

Fazendo uma figurinha melhor, haha:

Isolando as forças, teremos:

Achando as equações de Newton do sistema, teremos:

Na vertical:

Na horizontal:

Como ele quer o coeficiente mínimo, temos que garantir que a força de atrito seja estática em seu valor máximo, ou seja:

Torque:

Como as forças têm linha de atuação que apontam para o centro da face do cilindro, não realizam torque, logo, somente a força de atrito causará torque:

Sabemos que o nosso é dado por:

Além disso, “sabemos”, ou deveríamos saber que o momento de inércia do cilindro com seu eixo de rotação no centro da face é dado por:

Substituindo esse último resultado na equação de Newton com as forças verticais, teremos:

Como :

Vamos supor que as duas estão para o mesmo lado como na figura abaixo:

Na figura da esquerda, vemos que a força é responsável pelo movimento de translação do cilindro enquanto a é a responsável pela rotação pois gera um torque que faz a roda girar no sentido horário.

Já no cilindro da direita, temos o torque da força de atrito e o da força , mas ainda não sabemos muito sobre essa , até analisar um pouco mais a fundo...

Vamos chamar o Newton pra ajudar!

Pela Segunda Lei de Newton, teremos:

Para o Cilindro 1

Para o Cilindro 2

Somando tudo, teremos:

Agora, usando o Newton para rotação, teremos:

Para o Cilindro 1

Para o Cilindro 2

Cortando tudo o que tem direito e e substituindo o que der, teremos:

Substituindo na ultima equação do passo anterior, vai ficar:

E como

Pois a massa é um valor positivo e o módulo da aceleração também é.

Encontramos, por fim, um módulo da Força de Atrito negativo:

O que indica que nossa indicação para a direção da força de atrito do cilindro da direita estava errada. Na verdade, essa força apontava o tempo todo para a direita.

Numa rotação a velocidade de um ponto é

Onde é a distância do centro de rotação até aquele ponto.

Já vimos que quando alguma coisa rola sem deslizar pelo chão o ponto de contato com o chão tem velocidade igual a zero, porque ele é o ponto de rotação.

Então

Se ele roda com velocidade e o cilindro tem raio , vamos ter

E

Dessa forma a velocidade em é o dobro da em .

O diagrama que mostra isso é o

Vamos primeiramente analisar o movimento de translação do cilindro utilizando a segunda lei de Newton.

Agora vamos aplicar a lei de rotação:

Lembrando que :

Substituindo o pelo valor que encontramos ao aplicar a lei de translação e o valor do momento de inércia dado pelo enunciado, temos:

E agora utilizando a informação de que o cilindro rola sem deslizar, podemos utilizar a relação:

Substituindo

Dividindo ambos os lados da equação por

E finalmente encontramos:

Utilizando a equação de que encontramos analisando o movimento de translação:

Substituímos a encontrada no item anterior.

Colocando em evidência

Logo, para que , temos que ter obrigatoriamente.

As forças atuando no cilindro são seu peso , a força normal da superfície , a tração do fio , e a força de atrito .

Tendo rotação, rolamento sem deslizar e tal é normal a gente ficar confuso pra que lado aponta a força de atrito. Nesse caso a gente faz o seguinte: “chuta” um lado e depois vê se vai dar certo! Se no fim o módulo der negativo, basta trocar o sentido! Então digamos que a força de atrito aponta pra esquerda.

Assim, o diagrama das forças atuando no cilindro é:

Vamos ver o bloco agora.

Nele só tem as forças peso e a tração do fio :

b)

Um aviso antes da gente mergulhar de cabeça nas contas: sempre que eu botar um vetor mas sem a flechinha em cima é porque é o módulo dele, beleza? Tipo é o módulo de .

Dito isso, vamos aplicar a 2ª lei de Newton pro bloco:

Como ele está descendo, em módulo vamos ter

Agora vamos pro cilindro! Temos que ficar ligados porque ele, além da translação, tem uma rotação.

Vamos começar aplicando a 2ª lei de Newton pra translação. Seja a aceleração do centro de massa do cilindro. Ela é toda pra direita, então no eixo temos:

Como o cilindro vai pra direita, em módulo temos

Obs: não vamos nos preocupar com as forças no eixo e porque elas não têm importância pra essa questão.

Beleza, agora vamos dar uma olhada na rotação.

As forças peso, normal e de tração estão na direção do centro do cilindro, que é onde fica o eixo de rotação. Então essas forças não realizam torque, somente a realiza.

O braço da alavanca é o próprio raio do cilindro, então o torque da força de atrito é dado por:

O sinal negativo é porque o torque produzido é no sentido horário, e o sentido anti-horário que é o considerado positivo.

Portanto, pela 2ª lei de Newton,

A aceleração é no sentido horário, então ela também é negativa:

Então vamos ter:

Os sinais de negativo vão cortar:

E em módulo:

Show! De todas essas equações, obtivemos o sistema:

Mas ainda dá pra ajeitar várias coisas aí!

Primeira observação: os fios e a polia são ideais, então as forças de tração e as acelerações nos blocos têm o mesmo módulo! Isto é,

Tem que ficar ligado nisso, quase toda questão desse tipo envolve isso!

Outra coisa é que o momento de inércia é , então podemos ajeitar a última equação do sistema:

E também temos a relação

Logo,

Beleza, então agora o nosso sistema ficou assim:

Vamos somar as 2 primeiras equações:

Agora vamos substituir a 3ª equação nessa que achamos, aí dá:

Vamos isolar o , que é o que a gente quer achar:

c)

Agora só falta calcular o módulo da força de atrito! Vimos que

Ou seja,

Todos os valores envolvidos são positivos, então . Isso confirma que lá no começo escolhemos o sentido certo pra força de atrito, ela aponta pra esquerda mesmo!

a)

O trabalho da força peso será dado por:

Sendo o a diferença de altura do plano inclinado, que nada mais nada menos é que . Assim, teremos:

b)

Pelo Teorema Trabalho-Variação da Energia Cinética, teremos:

Mas sabemos que a energia cinética pode ser dividia em energia cinética de rotação e de translação, logo:

Como,

Ah, só mais uma coisa, lá do movimento circular a gente sabe que:

Logo: