Enunciado

Na Fig. 11-60, uma força horizontal constante F → de módulo 12   N é aplicada a um cilindro maciço homogêneo através de uma linha de pescar enrolada no cilindro. A massa do cilindro é 10   k g , o raio é 0,10   m e o cilindro rola suavemente em uma superfície horizontal. (a) Qual é o módulo da aceleração do centro de massa do cilindro? (b) Qual é o módulo da aceleração angular do cilindro em relação ao centro de massa? (c) Em termos dos vetores unitários, qual é a força de atrito que age sobre o cilindro?

Passo 1

Para questões como essa, devemos lembrar da simplificação que podemos fazer tendo em vista que o ponto de contato do cilindro com o chão está parado, assim, podemos considerar que esteja acontecendo uma rotação pura em torno de um eixo passando pelo ponto de contato entre o chão e o cilindro.

Assim, vamos começar calculando o momento de inércia do sistema em relação ao ponto de contato através do teorema dos eixos paralelo, sabendo que o momento de inércia de um cilindro cujo o eixo de rotação passa pelo seu centro de massa é I c m = 1 2 M R 2 . Portanto, pelo teorema dos eixos paralelos, temos:

I = I c m + M d 2

Onde o d representa a distância entre os dois eixos, no nosso caso d = R , assim:

I c m = 1 2 M R 2 + M R 2 = 3 2 M R 2

Passo 2

Com o momento de inércia em mãos, podemos aplicar a segunda lei de Newton para rotação, sabendo que a única força que realiza torque nessa simplificação é a força F :

τ = I α = r F

Como o braço de alavanca da força é 2 R , então:

3 2 M R 2 α = 2 R F

Isolando α :

α = 4 R F 3 M R 2 = 4 F 3 M R

Substituindo os valores:

α = 4 × 12 3 × 10 × 0,1 = 16,0   r a d / s 2

Passo 3

Com o valor da aceleração angular em mãos, podemos usar a seguinte equação para determinar a aceleração do centro de massa:

a = α r

Nesse caso, a aceleração que queremos determinar está a uma distância R do eixo de rotação, assim:

a c m = 16 × 0,1

a c m = 1,6   m / s 2

Passo 4

Para determinar a força de atrito, vamos aplicar a segunda lei de Newton para translação ao eixo horizontal, assim:

F + f a t = M a c m

Isolando f a t e substituindo os valores, temos:

f a t = 12 - 10 × 1,6

f a t = - 4   N

Resposta

  1. a c m = 1,6   m / s 2 ;
  2. α = 16   r a d / s 2 ;
  3. f → a t = - 4   N i ^ .
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