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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 9

09. Um fóton linearmente polarizado na direção θ incide sobre um analisador orientado na direção φ , podendo atravessá-lo (resultado = 1 ) ou não (resultado = 0 ). Mostre que a incerteza no resultado é:

∆ X = 1 2 s e n   2 θ - φ

Passo 1

Então galera, vamos colocar mais um para a conta!

Para verificar essa é a incerteza em X do resultado vamos usar a equação 8.100 , dada por:

Δ A u = Â 2 u - Â 2 u

Só que no nosso caso teremos o observável P ^ θ da polarização na direção θ , dada por:

P ^ θ = cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ sen 2 ⁡ θ

= | θ θ |

Os valores esperados presentes na equação 8.100 vão ser calculados em relação ao estado φ , então teremos o seguinte:

P ^ θ φ = φ P ^ θ φ

P ^ θ 2 φ = φ P ^ θ 2 φ

Então vamos calcular esses valores e jogar na fórmula e chegar onde o enunciado quer.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o valor esperado de P ^ θ , temos o seguinte:

P ^ θ φ = φ P ^ θ φ

Usando P ^ θ = | θ θ | , temos o seguinte:

P ^ θ φ = φ θ θ φ

= φ θ ​ 2

Sabendo que

| θ = cos ⁡ θ sen ⁡ θ

| φ = cos ⁡ φ sen ⁡ φ

Temos que:

φ | θ = cos ⁡ φ sen ⁡ φ cos ⁡ θ sen ⁡ θ

= cos ⁡ θ cos ⁡ φ + sen ⁡ θ sen ⁡ φ

= cos ⁡ θ - φ

Com isso temos que:

P ^ θ φ = φ θ ​ 2 = cos 2 ⁡ θ - φ

Passo 3

Agora vamos calcular o valor esperado de P ^ θ 2 , temos o seguinte:

φ P ^ θ 2 φ

Usando P ^ θ = | θ θ | , temos o seguinte:

P ^ θ 2 φ = φ θ θ θ θ | φ

Sabendo que θ | θ = 1 , temos o seguinte:

P ^ θ 2 φ = φ θ θ φ

= φ θ ​ 2

Nós já calculamos isso no passo anterior, logo:

P ^ θ 2 φ = cos 2 ⁡ θ - φ

Passo 4

Agora vamos calcular a incerteza, temos o seguinte:

Δ X φ = P ^ θ 2 φ - P ^ θ 2 φ

Substituindo com o que sabemos, temos:

Δ X φ = cos 2 ⁡ θ - φ - cos 4 ⁡ θ - φ

= cos 2 ⁡ θ - φ ( 1 - cos 2 ⁡ θ - φ )

Usando a trigonometria ao nosso favor, temos:

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

⇒ sen 2 ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

Aplicando isso na nossa expressão temos o seguinte:

Δ X φ = cos 2 ⁡ θ - φ sen 2 ⁡ θ - φ

= cos ⁡ θ - φ sen ⁡ θ - φ

Agora vamos usar outra identidade trigonométrica ao nosso favor, se liga só.

sen ⁡ 2 a = sen ⁡ a cos ⁡ a + sen ⁡ a cos ⁡ a = 2 sen ⁡ a cos ⁡ a

⇒ sen ⁡ a cos ⁡ a = 1 2 sen ⁡ 2 a

Então finalmente nossa expressão fica da seguinte maneira

Δ X φ = 1 2 sen ⁡ 2 ( θ - φ )

Prontinho, chegamos onde o enunciado queria.

Resposta

Demonstrado acima.

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