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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 12

12. Mostre que, para

u = c 1 c 2 ,

tem-se,

∆ P θ u   ∆ J z u ≥ 1 2 ℏ c 1 2 - c 2 2   s e n   2 θ - c 1 * c 2 + c 2 * c 1 cos ⁡ 2 θ  

e que o segundo membro é da ordem de ℏ .

Passo 1

Vem comigo para gente dominar essa questão juntos!

Então, primeiro temos que saber o que o enunciado está calculou para chegar naquele resultado.

Analisando o termo da esquerda da expressão que ele forneceu podemos ver que se trata da relação de incerteza entre os operadores P ^ θ e J ^ Z .

A equação para essa relação é a seguinte:

Δ X u Δ Y u ≥ 1 2 X ^ , Y ^ u

No nosso caso ficamos com:

Δ P θ u Δ J Z u ≥ 1 2 P ^ θ ,   J ^ Z u

Então o que tem de bruto para calcular e assim chegar no que o enunciado quer é o valor esperado do comutador de P ^ θ e J ^ Z em relação ao estado u .

Vamos lá!!

Passo 2

Primeiro vamos calcular o comutador de P ^ θ e J ^ Z , depois que encontramos esse cara a gente calcula o valor esperado desse negócio.

Temos:

P ^ θ ,   J ^ Z = P ^ θ ⋅ J ^ Z - J ^ Z ⋅ P ^ θ

Esses operadores são matrizes, olhe como elas são:

P ^ θ = cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ sen 2 ⁡ θ

J ^ Z = ℏ 0 - i i 0

Teremos que calcular dois produtos diferentes. Vamos fazer cada um deles e depois realizar a subtração.

P ^ θ ⋅ J ^ Z = cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ sen 2 ⁡ θ ℏ 0 - i i 0

= ℏ i cos ⁡ θ sen ⁡ θ - i cos 2 ⁡ θ i sen 2 ⁡ θ - i cos ⁡ θ sen ⁡ θ

Agora o outro.

J ^ Z ⋅ P ^ θ = ℏ 0 - i i 0 cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ sen 2 ⁡ θ

= ℏ - i cos ⁡ θ sen ⁡ θ - i sen 2 ⁡ θ i cos 2 ⁡ θ i cos ⁡ θ sen ⁡ θ

Passo 3

Então temos o seguinte:

P ^ θ ,   J ^ Z = ℏ i cos ⁡ θ sen ⁡ θ - i cos 2 ⁡ θ i sen 2 ⁡ θ - i cos ⁡ θ sen ⁡ θ - ℏ - i cos ⁡ θ sen ⁡ θ - i sen 2 ⁡ θ i cos 2 ⁡ θ i cos ⁡ θ sen ⁡ θ

= ℏ 2 i cos ⁡ θ sen ⁡ θ - i ( sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ ) i ( sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ ) - 2 i cos ⁡ θ sen ⁡ θ

De forma mais simplificada.

P ^ θ ,   J ^ Z = ℏ i sen ⁡ 2 θ - i cos ⁡ 2 θ - i cos ⁡ 2 θ - i sen ⁡ 2 θ

Passo 4

Agora só falta calcular o valor esperado em relação o estado u do comutador que calculamos. Então temos que calcular o seguinte:

u P ^ θ ,   J ^ Z u

Escrevendo de forma matricial isso é a mesma coisa que:

u P ^ θ ,   J ^ Z u = c 1 * c 2 * ℏ i sen ⁡ 2 θ - i cos ⁡ 2 θ - i cos ⁡ 2 θ - i sen ⁡ 2 θ c 1 c 2

Vamos calcular esse produto de matrizes, fazendo primeiro entre a segunda e terceira matriz, temos:

u P ^ θ ,   J ^ Z u = ℏ c 1 * c 2 * i c 1 sen ⁡ 2 θ - i c 2 cos ⁡ 2 θ - i c 1 cos ⁡ 2 θ - i c 2 sen ⁡ 2 θ

= i ℏ ( c 1 * c 1 sen ⁡ 2 θ - c 1 * c 2 cos ⁡ 2 θ - c 2 * c 1 cos ⁡ 2 θ - c 2 * c 2 sen ⁡ 2 θ )

= i ℏ c 1 2 - c 2 2 sen ⁡ 2 θ - c 1 * c 2 + c 2 * c 1 cos ⁡ 2 θ

Passo 5

Então com o que encontramos no passo anterior ficamos com:

Δ P θ u Δ J Z u = 1 2 i ℏ c 1 2 - c 2 2 sen ⁡ 2 θ - c 1 * c 2 + c 2 * c 1 cos ⁡ 2 θ

Tomando que ℏ = ℏ e i = 1 , temos que:

Δ P θ u Δ J Z u = 1 2 ℏ c 1 2 - c 2 2 sen ⁡ 2 θ - c 1 * c 2 + c 2 * c 1 cos ⁡ 2 θ

Resposta

Demonstração acima.

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