Enunciado
Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 9
9. No tratamento do modelo de Bohr do átomo de na Seç. 7.7, o núcleo (próton) foi tratado com se tivesse massa infinita em repouso. Na realidade, o elétron e o núcleo se movem em torno do centro de massa do sistema. Mostre, levando em conta esse efeito, que ele corrige a constante de Rydberg por um fator de , onde é a massa do núcleo. Considere o espectro do deutério (isótopo do hidrogênio de massa ). Qual é a variação percentual de comprimento de onda entre uma linha do espectro do e a linha correspondente do espectro do deutério?
Passo 1
Então galera para mostrar o que é pedido em teremos que considerar o movimento do núcleo, logo ele tem uma energia cinética, assim temos que a energia cinética total é:
Onde o primeiro termo é a energia cinética do elétron e do núcleo que é formado por um próton de massa .
Chamando
Temos que:
Agora vamos progredir com análises análogas feitas na teoria do átomo de Bohr
Para responder o item vamos usar a série de Balmer dada por:
Como vai ter uma correção levando em conta a massa do núcleo então poderemos calcular para o mesmo tanto para o hidrogênio quanto para o deutério e ver a porcentagem de diferença entre esses dois comprimentos de onda.
Passo 2
Vamos então em busca de mostrar o que o item pede.
Então galera para satisfazer a segunda lei de Newton, vamos igualar a força elétrica que age sobre o elétron em órbita de massa reduzida, ao produto entre sua massa e sua aceleração centrípeta, ficamos com:
Onde é o raio da órbita do elétron.
Agora multiplicando a expressão acima por e lembrando que , temos que:
Passo 3
Agora vamos usar o fato de que o momento pode ser escrito da seguinte maneira, como o momento linear do elétron.
Substituindo isso na nossa expressão, encontramos que:
Quando isolamos e usamos o número quântico encontramos a expressão dos raios das órbitas do átomo de Bohr, dada por:
Mas se você olhar a equação do livro ela nos fornece uma equação para o raio de Bohr para que envolve a constante de Rydberg dada por:
Onde
Então temos que:
Então podemos igualar essas duas expressões para e isolar e encontrar uma expressão para essa constante.
Então temos que:
Passo 4
Agora vamos analisar essa expressão que encontramos, ela se difere por um fator da expressão mostrada na equação do livro para o núcleo parado.
Mas como definimos anteriormente, temos que:
A expressão do livro é
Então temos que a constante de Rydberg é corrigida por um fator de
Passo 5
Agora vamos pegar a fórmula de Balmer dada por:
Colocando a correção em temos:
Para o deutério teríamos o seguinte:
Já que a massa do deutério é o dobro da do hidrogênio.
Agora vamos isolar os comprimentos de onda de cada fórmula, assim ficamos com:
Passo 6
Agora vamos achar a diferença entre esses comprimentos de onda, temos:
Agora queremos a variação percentual para isso vamos pegar essa diferença que achamos e dividir pelo comprimento de onda do hidrogênio, assim:
Agora usando sabendo que a massa do elétron é e que a massa do hidrogênio é , temos o seguinte:
Passando para porcentagem temos que a variação é de .
Resposta
Demonstração acima.