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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo R.1 - Ex. 29

29. Um comandante de espaçonave viaja para a Nuvem de Magalhães, com a rapidez uniforme de 0,800 c . Ao sair do cinturão de Kuiper, cuja borda externa está a 50,0   U A   da Terra (Nota:   1   U A =   150000000   k m   e representa a distância média entre a Terra e o Sol; U A = unidade astronômica), ele envia um mensagem ao controle de terra em Houston, no Texas, dizendo que está tudo bem. Quinze minutos depois (de acordo com ele), ele percebe que fez um erro de digitação e envia uma correção. Quanto tempo transcorre, em Houston, entre as recepções da mensagem inicial e de sua segunda mensagem?

Passo 1

Seja ∆ T o intervalo de tempo adequado entre o evento A , o envio da primeira mensagem, e o evento B, o envio de correção. Estes dois eventos ocorrem na espaçonave, então o intervalo de tempo entre eles é o intervalo de tempo no quadro de referência do navio. Assim,     ∆ T n a v e = 15   m i n . Seja ∆ T '   o intervalo de tempo entre esses mesmos dois eventos no quadro de referência de Houston. Então, o tempo entre a chegada das duas mensagens em Houston é dado por esse intervalo de tempo dos eventos somado com o intervalo de tempo da viagem das mensagens, igual a ∆ T m e n s a g e n s = ∆ T ' + ∆ T v i a g e n s ' .

Bom! Conforme falado acima, o tempo para a chegada das duas mensagens é dado por:

∆ T m e n s a g e n s = ∆ T ' + ∆ T v i a g e n s '

No referencial da espaçonave, temos que Houston está se movendo com uma velocidade de 0,800 c em relação a ela. De modo que, vamos usar a equação da dilatação do tempo para encontrar nosso intervalo de tempo ∆ T ' .

∆ T ' = ∆ T n a v e 1 - v 2 c 2

Agora, vamos escrever uma nova relação para o tempo ∆ T m e n s a g e n s entre as mensagens:

∆ T t o t a l   d a s   m e n s a g e n s = ∆ T n a v e 1 - v 2 c 2 + ∆ T v i a g e n s '

O que precisamos fazer, em seguida é descobrir o tempo ∆ T v i a g e n s ' entre as viagens das mensagens. Sabemos que durante o intervalo de tempo ∆ T ' , a espaçonave percorre uma distância ∆ s igual a:

∆ s = v ∆ T '

E sabemos também que a mensagem enviada tem que percorrer a mesma distância ∆ s , sendo que o tempo que ela demora para concluir o percurso, é igual a ∆ T v i a g e n s ' , viajando é claro, na velocidade da luz c . Ou seja, chegamos a:

∆ s = c ∆ T v i a g e n s '

Igualamos as duas relações anteriores:

∆ s = ∆ s

v ∆ T ' = c ∆ T v i a g e n s '

∆ T v i a g e n s ' = v ∆ T ' c

Substitui-se ∆ T v i a g e n s ' na fórmula do tempo total das mensagens, de modo que obtém-se:

∆ T t o t a l   d a s   m e n s a g e n s = ∆ T n a v e 1 - v 2 c 2 + v ∆ T ' c

Mas ∆ T ' , na verdade, é dado por:

∆ T ' = ∆ T n a v e 1 - v 2 c 2

Assim, chegamos ao último passo para encontrar nossa relação apenas em função do tempo da nave, ∆ T n a v e :

∆ T t o t a l   d a s   m e n s a g e n s = ∆ T n a v e 1 - v 2 c 2 + v c ∆ T n a v e 1 - v 2 c 2

∆ T t o t a l   d a s   m e n s a g e n s = ∆ T n a v e 1 - v 2 c 2 1 + v c

Só falta substituir os valores numéricos de cada variável:

∆ T t o t a l   d a s   m e n s a g e n s = 15   m i n 1 - ( 0,800 c ) 2 c 2 1 + ( 0,800 c ) c

∆ T t o t a l   d a s   m e n s a g e n s = 15   m i n 1 - 0,64 1 + 0,800

∆ T t o t a l   d a s   m e n s a g e n s = 45   m i n

Resposta

Transcorre um tempo de 45   minutos entre a recepção das mensagens.

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