38.28. a) Mostre que, quando n se torna muito grande, os níveis de energia do átomo de hidrogênio se aproximam cada vez mais em energia. B) Os raios desses níveis de energia se aproximam também?

Agora a gente conseguiu uma equação que relaciona a variação de energia com . O que precisamos responder é o que acontece com conforme aumenta.

Bom, vamos analisar nossa equação. A gente tem uma fração, isso significa que nós podemos seguir o seguinte raciocínio, se o numerador for maior que o denominador, aumenta, caso contrário diminui. O numerador é a parte de cima da fração e o denominador é a de baixo. Tanto o numerador quanto o denominador têm os mesmos termos, mas o numerador tem uma subtração enquanto o denominador tem uma multiplicação, por tanto

O denominador é maior que o numerador, e consequentemente a variação de energia diminui.

Esse resultado mostra que quanto maior se torna, os níveis de energia tendem a ter uma variação menor de energia, então a energia de um nível é muita próxima da energia do seu nível sucessor.

Agora vamos para o item (b). Para calcular o raio de uma órbita de um qualquer, a gente pode usar a equação

Essa equação é mais fácil de analisar. O raio da órbita é proporcional ao quadrado do nível, então, quanto maior o nível de energia, maior o raio. O raio cresce com uma certa constância nesse caso, diferente da energia, só temos um numerador, isso quer dizer que o raio vai ficando cada vez mais longe do centro. Com a mesma taxa de crescimento . Então a resposta é não.