Exercícios de Átomo de Bohr - Lista de Exercícios Resolvida

Um átomo de hidrogênio está em um estado com energia .

No modelo de Bohr, qual é o momento angular do elétron no átomo, em relação a um eixo que passa pelo núcleo?

1. Usando o modelo de Bohr, calcule a velocidade do elétron no átomo de hidrogênio para os níveis e .
2. Calcule o período orbital para cada um desses níveis.
3. A vida média para o primeiro nível excitado do átomo de hidrogênio é . No modelo de Bohr, quantas voltas completas o elétron daria no nível antes de o elétron voltar para seu nível fundamental?

A condição de quantização de Bohr para as órbitas dos elétrons requer que:

1. O momento angular do elétron em torno do núcleo do átomo de hidrogênio seja igual a
2. No máximo um elétron ocupe um dado estado estacionário.
3. Os elétrons espiralem em direção ao núcleo enquanto irradiam ondas eletromagnéticas.
4. As energias possíveis para um elétron num átomo de hidrogênio sejam iguais a , onde é uma constante e um número inteiro.
5. Nenhuma das afirmações anteriores está correta.

Um múon possui uma carga elétrica igual à carga do elétron, porém sua massa é vezes maior do que a massa do elétron.

Considere um átomo semelhante ao átomo de hidrogênio constituído por um próton e um múon.

Calcule a energia do estado fundamental.

Calcule o comprimento de onda eletromagnética emitida na transição de nível para .

Calcule o momento linear do fóton emitido na transição do item anterior.

Um elétron está confinado dentro de uma camada delgada num semicondutor. Tratando-a como uma lâmina de espessura a entre as paredes impenetráveis, estime a largura desta camada (em ), sabendo que a transição entre os estados com números quânticos e é devida à absorção de fóton com comprimento de onda .

Considere o modelo atômico de Bohr para o átomo de hidrogênio. O átomo é preparado no segundo nível excitado, absorve um determinado fóton e passa a ocupar um estado estacionário de momento angular de Determine a velocidade do elétron em torno do próton.

Escolha uma:

1. 200000m/s
2. 45000000m/s
3. 214286m/s
4. 13333m/s
5. 187500m/s

Considere o modelo atômico de Bohr para o átomo de hidrogênio. O átomo é preparado no segundo nível excitado, absorve um determinado fóton e passa a ocupar um estado estacionário de momento angular de Determine o comprimento de onda do fóton absorvido pelo sistema atômico.

Escolha uma:

1. 329,864nm
2. 329,143nm
3. 348,804nm
4. 335,806nm
5. 342,530nm

A figura ao lado mostra os níveis de energia (para n = 1, 2, 3, 4) de um elétron em um certo átomo. As distâncias verticais entre as linhas são proporcionais às diferenças entre as energias dos níveis. Responda as questões abaixo justificando a resposta de acordo com o modelo de Bohr.

(b2) Uma das transições indicadas resulta na absorção de um fóton com menor comprimento de onda do que as outras absorções. Diga qual é essa transição indicando a letra que corresponde a ela e a justifique.

Um átomo de hidrogênio emite um fóton através de uma transição eletrônica. O fóton possui um comprimento de onda resultante da transição entre o quarto estado excitado e o segundo estado excitado. Nessas condições, a variação do momento angular sofrida pelo átomo é dada por

a) .

b) .

c) .

d) .

Um sistema composto de átomos de hidrogênio aquecidos emite radiação. Uma parte da radiação eletromagnética emitida é formada por fótons de energia . Pode-se afirmar que, pelo modelo de Bohr, os átomos que emitiram esses fótons sofreram uma transição entre os seguintes níveis de energia.

a) de para .

b) de para .

c) de para .

d) de para .

e) de para .

Pode-se aplicar o modelo de Bohr para o átomo de Hélio (𝑍=2) ionizado.

(a ) Calcule a energia potencial U (em 𝑒𝑉) do elétron no estado 𝑛=3.

(b ) Determine o mínimo comprimento de onda da radiação emitida por transições eletrônicas que terminem no estado quântico 𝑛=5.

A figura ao lado mostra os níveis de energia (para n = 1, 2, 3, 4) de um elétron em um certo átomo. As distâncias verticais entre as linhas são proporcionais às diferenças entre as energias dos níveis. Responda as questões abaixo justificando a resposta de acordo com o modelo de Bohr.

(a) Uma das transições indicadas resulta na emissão de um fóton com menor energia do que as outras emissões. Indique a letra que corresponde a ela e a justifique.

Considere um átomo de hidrogênio em repouso com massa total . Suponha que o elétron deste átomo passou do primeiro estado excitado para o estado de energia mais baixa, através da emissão de um fóton. Utilize o modelo de Bohr para responder os itens abaixo. Forneça seus resultados apenas em termos de , , da massa de repouso do elétron e da constante de Rydberg .

(a) Calcule o comprimento de onda do fóton emitido.

(b) Ao emitir o fóton, o átomo de deve recuar na direção oposta para que haja conservação de momento. A velocidade de recuo do átomo de é muito menor do que a velocidade da luz . Calcule .

(c) Se o fóton emitido for espalhado por um elétron em repouso, qual será o maior valor possível do seu comprimento de onda?

Um átomo de hidrogênio está em repouso e se encontra no terceiro nível excitado eletrônico. A quantidade de energia necessária para ionizar esse átomo é dada por:

Calcule o maior comprimento de onda da radiação emitida por uma transição eletrônica que termine no estado quântico de ordem n = 5 no átomo de Hidrogênio (Z = 1), segundo o modelo de Bohr.

Calcule o maior comprimento de onda da radiação emitida por uma transição eletrônica que termine no estado quântico de ordem n = 5 no átomo de Hidrogênio (Z = 1), segundo o modelo de Bohr.

Determine, com o modelo de Bohr, a velocidade de um elétron que ocupa o primeiro nível excitado no átomo de Hidrogênio, em termos da constante de estrutura fina , a qual vale aproximadamente .

a) .

b) .

c) .

d)

e) .

No Modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio, o elétron descreve uma órbita circular ao redor do núcleo atômico; as órbitas possíveis obedecem à quantização do momento angular, .

a) Mostre que a quantização do momento angular leva à quantização do raio das órbitas permitidas e em particular que o raio do estado fundamental é .

b) Fótons com energias de e são bombardeados sobre átomos de induzindo transições eletrônicas a níveis mais excitados. Determine, para essa duas energias dos fótons incidentes, qual é o estado final da transição induzida.

c) O Modelo de Bohr, apesar de encontrar corretamente os níveis de energia, não explica uma série de outros fenômenos associados ao átomo de H. Um deles é o decaimento espontâneo: estados excitados decaem a outros de energia mais baixa após um curto período de tempo. Seja um processo de emissão espontânea em que um átomo emite um fóton com em um intervalo de tempo . Determine a incerteza associada ao comprimento de onda desse fóton. (Dica: de , determine a derivada ).

A radiação eletromagnética emitida por um átomo de hidrogênio possui um espectro discreto e bem definido de valores. No modelo atômico de Bohr, a série de Paschen pode ser deduzida quando se considera apenas decaimentos para o SEGUNDO estado excitado. O maior comprimento de onda encontrado na série de Paschen é dado aproximadamente por:

2. .
3. .
4. .
5. .

A condição de quantização de Bohr para as órbitas dos elétrons requer que:

1. O momento angular do elétron em torno do núcleo do átomo de hidrogênio seja igual a
2. No máximo um elétron ocupe um dado estado estacionário.
3. Os elétrons espiralem em direção ao núcleo enquanto irradiam ondas eletromagnéticas.
4. As energias possíveis para um elétron num átomo de hidrogênio sejam iguais a , onde é uma constante e um número inteiro.
5. Nenhuma das afirmações anteriores está correta.

Um elétron está confinado dentro de uma camada delgada num semicondutor. Tratando-a como uma lâmina de espessura a entre as paredes impenetráveis, estime a largura desta camada (em ), sabendo que a transição entre os estados com números quânticos e é devida à absorção de fóton com comprimento de onda .

O átomo de hélio parcialmente ionizado é obtido quando apenas um dos dois elétrons é retirado.

Obs: realize todos os cálculos, incluindo frações.

Complete o diagrama abaixo dos níveis de energia para o , até e desenhe no diagrama as setas indicando as possíveis transições, onde ocorre a emissão de fótons, entre os estados.

Calcule a energia do fóton emitido quando o elétron passa do estado de energia para o estado de energia .

Havendo uma mistura de e , é possível que o fóton do item emitido seja absorvido por algum átomo de ? Justifique a sua resposta através de cálculos.

Um átomo de hélio ionizado está no seu estado fundamental.

Um fóton incidente é absorvido e o átomo passa para o segundo estado excitado.

Qual a variação do momento angular do elétron?

13. Nenhuma das anteriores.

Pode-se aplicar o modelo de Bohr para o átomo de Hélio (Z = 2) ionizado ou seja, com um elétron somente.

1. Calcule a energia cinética (em 𝑒𝑉) do elétron no estado fundamental.
2. Determine o mínimo comprimento de onda da radiação emitida por transições eletrônicas que terminem no estado quântico 𝑛 = 4

A figura ao lado mostra os níveis de energia (para n = 1, 2, 3, 4) de um elétron em um certo átomo. As distâncias verticais entre as linhas são proporcionais às diferenças entre as energias dos níveis. Responda as questões abaixo justificando a resposta de acordo com o modelo de Bohr.

(b) Uma das transições indicadas resulta na absorção de um fóton com menor comprimento de onda do que as outras absorções. Diga qual é essa transição indicando a letra que corresponde a ela e a justifique.

A figura ao lado mostra os níveis de energia (para n = 1, 2, 3, 4) de um elétron em um certo átomo. As distâncias verticais entre as linhas são proporcionais às diferenças entre as energias dos níveis. Responda as questões abaixo justificando a resposta de acordo com o modelo de Bohr.

(b1) Uma das transições indicadas resulta na emissão de um fóton com menor energia do que as outras emissões. Indique a letra que corresponde a ela e a justifique.

Faça a escolha correta e justifique: Os resultados obtidos no modelo de átomo de Bohr são aproximados porque:

(a) todos os núcleos atômicos possuem nêutrons exceto o de Hidrogênio.

(b) o poço de potencial atômico é infinito apenas para o átomo de Hidrogênio.

(c) o elétron não é tratado como uma onda confinada em um poço de potencial.

(d) o efeito Doppler foi considerado na emissão da radiação.

a) Um íon de Hélio (), em um estado excitado, sofre uma transição emitindo um fóton de comprimento de onda de . Quais são os níveis de energia inicial e final do íon de Hélio nessa transição?

b) Para um átomo de Hidrogênio no primeiro nível (), calcule a velocidade do elétron coo fração de (velocidade da luz) e argumente se o tratamento não-relativístico é uma boa aproximação.

Faça a escolha correta e justifique:

O modelo de átomo de Bohr teve sucessos e insucessos para o átomo de Hidrogênio: Exemplos desses são respectivamente:

(a ) Deduziu a fórmula para o comprimento de onda irradiado e não conseguiu explicar porque o elétron acelerado na órbita não irradia.

(b ) Obteve a quantização da energia das órbitas e não explicou a quantização dos raios dessas órbitas.

(c ) Explicou as frequências da radiação emitida e não explicou a intensidade da radiação.

(d ) Conseguiu explicar as consequências da distribuição dos spins, mas não explicou os espectros de absorção.

Um feixe de radiação é totalmente absorvido por um conjunto de átomos de hidrogênio inicialmente no estado fundamental.

Após a absorção, os átomos de hidrogênio voltam ao estado fundamental e observa-se que apenas três comprimentos de onda diferentes de radiação são emitidos nesse processo.

A energia de radiação incidente é igual a:

Determine a fração onde é a velocidade do elétron no nível fundamental do modelo de Bohr em termos de constantes fundamentais.

O múon é uma partícula elementar com a mesma carga do elétron , mas com uma massa M 200 vezes maior. No modelo de Bohr para átomos hidrogenóides, o múon executa movimento circular uniforme em uma órbita estável de raio r tal que o módulo do momento angular L obedece a regra de quantização . As demais grandezas seguem das relações da mecânica clássica. Despreze os efeitos relativísticos. De posse dessa informação, determinar para cada órbita:

(a) a velocidade do múon

(b) o raio da órbita e a energia total do múon

(c) Suponha que o múon faça uma transição do nível para com emissão de um fóton. Calcule a diferença de momento angular do múon.

Considere o modelo de Bohr para um íon monoeletrônico com número atômico . Neste caso, um elétron de massa e carga move-se numa órbita circular de raio em torno de um núcleo fixo de carga .

a) Partindo da segunda lei de Newton determine o módulo da velocidade do elétron em função do raio da órita .

b) Utilizando a quantização do momento angular, deduza a energia do íon num estado estacionário caracterizado pelo número quântica .

As respostas devem ser dadas apenas em termos do número quântico , do número atômico e das constantes fundamentais , massa do elétron , e .

Em um espalhamento Compton por elétrons, em qual ângulo, aproximadamente, encontramos radiação eletromagnética com comprimento de onda dado que a onda incidente possui comprimento de onda ?

a)

b)

c)

d)

e)

Um átomo de hidrogênio possui um elétron na camada n = 2.

(a) Calcule o comprimento de onda do fóton emitido quando este elétron faz uma transição da camada n = 2 para a camada n = 1

(b) Determine a energia mínima de um fóton incidente para remover um elétron da camada n=2 do átomo de hidrogênio (Esta é a energia para ionizar o átomo de hidrogênio com o elétron neste nível excitado.).

No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, um elétron de carga e massa percorre uma órbita circular em torno de um núcleo de carga .

1. Deduza a expressão clássica para a velocidade do elétron em função de , , e do raio da órbita.
2. Usando a regra de Bohr para a quantização do momento angular do elétron, deduza a expressão para os raios , correspondentes às órbitas permitidas do átomo de hidrogênio.
3. Um átomo de hidrogênio no primeiro estado excitado () efetua uma transição para o estado fundamental () emitindo um fóton. Dado que o átomo de hidrogênio estava inicialmente em repouso, calcule sua velocidade após a transição.

Luz ultravioleta com comprimento de onda na faixa atravessa um tubo transparente preenchido com gás hélio (), ionizado uma vez ().

1. Determine o intervalo de energia dos fótons incidentes em .
2. Adotando o modelo de Bohr, e supondo que o átomo está no estado excitado com , qual é o maior comprimento de onda da luz incidente absorvida pelo gás?
3. Determine o módulo da variação do momento linear do ao absorver um desses fótons de comprimento de onda . Dê a resposta em .

Considere as afirmações a seguir e marque a alternativa correta.

I) No efeito fotoelétrico, a luz que incide com certa energia leva à ejeção de um elétron com energia cinética igual à energia do fóton absorvido.

II) No espalhamento Compton, o fóton espalhado tem comprimento de onda maior que o do fóton incidente, pois parte da energia incidente é transferida para um elétron incialmente em repouso.

III) No modelo atômico de Bohr, a frequência da radiação emitida pelo átomo está associada a uma transição entre dois níveis e não a uma única órbita, como esperado classicamente.

a) Apenas II e III estão corretas.

b) Apenas I e II estão corretas.

c) Apenas I e III estão corretas.

d) Apenas I está correta.

e) Apenas II está correta.

f) Apenas III está correta.

g) Todas estão corretas.

h) Nenhuma está correta.

Considere o modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, onde é o número quântico principal. Escolha a alternativa correta.

1. Os valores permitidos do momento angular são dados por .
2. pode assumir valores negativos.
3. Os raios orbitais dos estados permitidos são proporcionais a .
4. O estado fundamental é obtido para .
5. Os valores permitidos para as energias são proporcionais a .