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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 31.Problemas desafioadores - Ex. 74c

74 - (c) Para qual frequência angular a amplitude da voltagem através do capacitor atinge seu valor máximo em um circuito R-L-C em série?

Passo 1

Ora, a amplitude da tensão em um capacitor é...

V C = 1 ω C I

Onde a corrente em um circuito RLC em série vale...

I = V R 2 + ω L - 1 ω C 2

Onde V é a tensão da fonte (uma constante)...

V C = 1 ω C V R 2 + ω L - 1 ω C 2

Para encontrar o valor máximo da amplitude de V C com a variação de ômega, precisamos lembrar que encontrar um máximo, significa igualar a deriva da função a 0 . Considerando V C como uma função de ω então...

d V C d ω = 0     →

d d ω V C ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 = 0

Bora calcular essa derivada?

Passo 2

Primeiro precisamos aplicar a regra do fração, ou seja...

d d ω V C ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 = V / C ' ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 - V / C ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 ' ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 2   →

Igualando-se a 0 para ficar mais enxuto, lembrando-se de que em uma fração para ser 0 o numerador deve ser 0 ...

V / C ' ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 - V / C ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 ' ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 2 = 0   →

V / C ' ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 - V / C ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 ' = 0

A derivada do primeiro parênteses é tranquila...

V / C ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 ' = 0 →

ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 ' = 0

Já a derivada do segundo, precisamos nos lembrar da derivada do produto (além disso aplicar a regra da cadeia)...

R 2 + ω L - 1 ω C 2 + ω R 2 + ω L - 1 ω C 2 ' = 0 →

R 2 + ω L - 1 ω C 2 + ω 1 2 R 2 + ω L - 1 ω C 2 ⋅ R 2 + ω L - 1 ω C 2 ' = 0 →

Simplificando então, colocando o mesmo denominador...

R 2 + ω L - 1 ω C 2 + ω 2 ω L - 1 ω C L + 1 C ω 2 2 R 2 + ω L - 1 ω C 2 = 0 →

R 2 + ω L - 1 ω C 2 R 2 + ω L - 1 ω C 2 + ω ω L - 1 ω C L + 1 C ω 2 R 2 + ω L - 1 ω C 2 = 0 →

E colocando em evidência...

1 R 2 + ω L - 1 ω C 2 R 2 + ω L - 1 ω C 2 + ω ω L - 1 ω C L + 1 C ω 2 = 0   →

Para isso ser 0 , o parênteses deve ser 0 :

R 2 + ω L - 1 ω C 2 + ω ω L - 1 ω C L + 1 C ω 2 = 0   →

Colocando em evidência...

R 2 + ω L - 1 ω C ω L - 1 ω C + ω L + 1 C ω 2 = 0   →

E simplificando o termo dos colchetes...

R 2 + ω L - 1 ω C ω L - 1 ω C + ω L + 1 ω C = 0   →

Vamos obter...

R 2 + ω L - 1 ω C 2 ω L = 0   →

R 2 + 2 ω 2 L 2 - 2 L C = 0   →

2 ω 2 L 2 = 2 L C - R 2 →

Isolando ω ...

ω 2 = 1 L C - R 2 2 L 2 →

ω = 1 L C - R 2 2 L 2

E essa é a frequência angular para a tensão máxima sobre o capacitor!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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