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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 31.Problemas desafioadores - Ex. 74b

74 - (b) Para qual frequência angular a amplitude da voltagem através do indutor atinge seu valor máximo em um circuito R-L-C em série?

Passo 1

Ora, a amplitude da tensão em um indutor é...

V L = ω L I

Onde a corrente em um circuito RLC em série vale...

I = V R 2 + ω L - 1 ω C 2

Onde V é a tensão da fonte (uma constante)...

V L = ω L V R 2 + ω L - 1 ω C 2

Para encontrar o valor máximo da amplitude de V L com a variação de ômega, precisamos lembrar que encontrar um máximo, significa igualar a deriva da função a 0 . Considerando V L como uma função de ω então...

d V L d ω = 0     →

d d ω ω L V R 2 + ω L - 1 ω C 2 = 0

Bora calcular essa derivada?

Passo 2

Primeiro precisamos aplicar a regra do fração, ou seja...

d d ω ω L V R 2 + ω L - 1 ω C 2 = ω L V ' R 2 + ω L - 1 ω C 2 - ω L V R 2 + ω L - 1 ω C 2 ' R 2 + ω L - 1 ω C 2 2   →

Igualando-se a 0 para ficar mais enxuto, lembrando-se de que em uma fração para ser 0 o numerador deve ser 0 ...

ω L V ' R 2 + ω L - 1 ω C 2 - ω L V R 2 + ω L - 1 ω C 2 ' R 2 + ω L - 1 ω C 2 2 = 0   →

ω L V ' R 2 + ω L - 1 ω C 2 - ω L V R 2 + ω L - 1 ω C 2 ' = 0

A derivada do primeiro parênteses é tranquila...

L V R 2 + ω L - 1 ω C 2 - ω L V R 2 + ω L - 1 ω C 2 ' = 0 →

Já a derivada do segundo, precisamos nos lembrar da derivada da fração (além disso aplicar a regra da cadeia)...

L V R 2 + ω L - 1 ω C 2 - ω L V 1 2 R 2 + ω L - 1 ω C 2 ⋅ R 2 + ω L - 1 ω C 2 ' = 0   →

L V R 2 + ω L - 1 ω C 2 - ω L V 2 ω L - 1 ω C L + 1 C ω 2 2 R 2 + ω L - 1 ω C 2 = 0 →

Simplificando então, colocando o mesmo denominador...

L V R 2 + ω L - 1 ω C 2 R 2 + ω L - 1 ω C 2 - ω L V ω L - 1 ω C L + 1 C ω 2 R 2 + ω L - 1 ω C 2 = 0   →

E colocando em evidência...

L V R 2 + ω L - 1 ω C 2 R 2 + ω L - 1 ω C 2 - ω ω L - 1 ω C L + 1 C ω 2 = 0   →

Para isso ser 0 , o parênteses deve ser 0 :

R 2 + ω L - 1 ω C 2 - ω ω L - 1 ω C L + 1 C ω 2 = 0   →

Colocando em evidência...

R 2 + ω L - 1 ω C ω L - 1 ω C - ω L + 1 C ω 2 = 0   →

E simplificando o termo dos colchetes...

R 2 + ω L - 1 ω C ω L - 1 ω C - ω L - 1 ω C = 0   →

Vamos obter...

R 2 + ω L - 1 ω C - 2 ω C = 0   →

R 2 + - 2 L C + 2 ω 2 C 2 = 0   →

2 ω 2 C 2 = 2 L C - R 2 →

2 ω 2 C 2 = 2 L - R 2 C C →

2 ω 2 C = 2 L - R 2 C →

Isolando ω ...

2 C 2 L - R 2 C = ω 2 →

ω = 2 C 2 L - R 2 C

E essa é a frequência angular para a tensão máxima sobre o indutor!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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