75 - Números complexos em um circuito. A voltagem através de um dado elemento em um circuito CA não está necessariamente em fase com a corrente que passa através desse elemento. Portanto, as amplitudes das voltagens através dos elementos ligados em uma dada malha do circuito não podem ser somadas algebricamente para se determinar a voltagem total. Um método geralmente usado para simplificar a análise de um circuito CA alimentado por uma fonte de tensão consiste em representar como um número complexo. A parte real do número complexo é a resistência da impedância, e a reatância é a parte imaginária. Portanto, para um ramo do circuito com um resistor, um indutor e um capacitor em série, a impedância complexa é dada pelo número complexo , em que. Se a amplitude da voltagem através do ramo do circuito é definimos uma amplitude de corrente complexa através da relação . A amplitude da corrente real é dada pelo módulo da amplitude de corrente complexa, ou seja, .O ângulo de fase o da corrente em relação à voltagem da fonte é dada pela expressão . As amplitudes das voltagens , e através do resistor, do indutor e do capacitor, respectivamente, são obtidas multiplicando-se por , , e , respectivamente. Usando a representação complexa para as amplitudes das voltagens, a voltagem total através de um ramo do circuito é simplesmente dada pela soma algébrica das voltagens através de cada elemento do circuito: . O valor efetivo de qualquer amplitude de corrente ou amplitude de voltagem é o valor absoluto da grandeza complexa correspondente.

Considere o circuito R-L-C em série indicado na Figura. Os valores dos elementos dos circuitos da amplitude da voltagem da fonte e da frequência angular da fonte são indicados na figura. Use a técnica do diagrama de fasores apresentada na Seção 31.1 para determinar uma expressão para:

1. A amplitude da corrente;
2. O ângulo de fase da corrente em relação à tensão da fonte. (Observe que esse ângulo de fase é igual e de sinal contrário ao ângulo de fase definido na Figura 31.13.) Analise agora o mesmo circuito usando o método dos números complexos.
3. Determine a impedância complexa do circuito, . Tome o valor absoluto desse número complexo para obter o valor de , a impedância efetiva do circuito.
4. Suponha que a amplitude da voltagem da fonte, , seja real e calcule a amplitude da corrente. Determine a amplitude da corrente efetiva calculando o valor absoluto de .
5. Calcule o ângulo de fase da corrente em relação à amplitude da voltagem da fonte usando as partes reais e imaginárias do número complexo , como explicado anteriormente.
6. Calcule a representação complexa das voltagens através do resistor, do indutor e do capacitor.
7. Somando as respostas encontradas na parte (f), verifique se a soma desses números complexos é real e igual a , a tensão fornecida pela fonte.

Bem, sabemos também que o ângulo de entre a corrente e a tensão é dado por:

Então, substituindo-se tudo...

Pela teoriasinha da questão, podemos representar a nossa impedância complexa por:

Onde é a resistência e é a reatância total (dada pela subtração da reatância indutiva pela capacitiva):

Lembrando-se de que as reatâncias nada mais são do que...

Então a impedância complexa no nosso caso é...

O módulo ou valor absoluto da nossa impedância é dado por Pitágoras entre a parte real e a parte imaginária:

Ora, a corrente complexa é quase a mesma coisa que a corrente absoluta, mas agora considerando a impedância complexa:

Dividindo todo mundo por , a gente dá uma simplificada...

Agora multiplicando pelo conjugado para transformar em um número complexo da forma que conhecemos...

Aplicando a propriedade de que ...

E se lembrando de que ...

Sacou? Para obter a corrente absoluta, basta fazer Pitágoras entre a parte real e imaginária:

Que é exatamente a mesma coisa que obtivemos na letra !

Para encontrar o ângulo entre a corrente e tensão, podemos usar novamente a teoriasinha do enunciado que nos diz que...

Então o ângulo será...

Sendo a parte imaginária o valor que acompanha e a real a parte que não acompanha...

A tensão complexa em cima do resistor pode ser dada por...

Substituindo-se...

Já a tensão complexa em cima da indutância é quase a mesma coisa que fazíamos para obter a tensão real: , mas dessa vez consideramos um na frente, além de considerar a corrente complexa, claro:

Então...

Considerando ...

Vamos fazer o mesmo para a tensão em cima do capacitor, mas dessa vez considerando na frente da reatância...

Substituindo tudo...

Bem, para somar as três, basta substitui-las...

E somar valor real com real e imaginário com imaginário. No nosso caso a parte imaginária vai se cancelar...

Que é exatamente o mesmo valor da tensão da fonte!