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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 78

a)A temperatura nas vizinhanças do topo da camada multicolorida da atmosfera da Júpter é igual a aproximadamente 140 K. A temperatura no topo da troposfera da Terra, a uma altitude aproximada de 20 km, é cerca de 220 K. Calcule a velocidade quadrática média das moléculas de hidrogênio nesses dois ambientes. Forneça suas respostas em m/s e como uma fração da velocidade de escape do respectivo planeta. Ver o problema 18.6.) b) O gás de hidrogênio ( H 2 ) é um elemento raro na atmosfera terrestre. Na atmosfera de Júpiter, em contraste, 89 % de todas as moléculas são H 2 . Explique por quê, usando seu resultado do item (a). c) Suponha que um astrônomo afirme ter descoberto uma atmosfera de oxigênio no asteroide Ceres. Qual é a probabilidade disso acontecer? Ceres possui massa igual a 0,014 vezes a massa da Lua, uma densidade de 2400   k g / m 3 e uma temperatura na superfície de aproximadamente 200 K.

Passo 1

Vamos relembrar a formula da v r m s :

v r m s = 3 R T M

Temos que: M H 2 = 2,02 × 10 - 3 k g / m o l M O 2 = 32,0 × 10 - 3 k g / m o l ;

Para a Terra: M = 5,97 × 10 24 k g R = 6,38 × 10 6 m ;

Para Júpiter: M = 1,90 × 10 27 k g R = 6,91 × 10 7 m ;

Para uma esfera:

M = ρ V = ρ 4 3 π r 3

E a velocidade de escape é:

v e s c a p e = 2 G M R

Passo 2

  1. Assim, Júpiter tem v r m s :

    2. v r m s = 3 ( 8,3145 J / m o l ⋅ K ) ( 140 K ) 2,02 × 10 - 3 k g / m o l = 1,31 × 10 3 m / s

    v e s c a p e = 6,06 × 10 4   m / s

    ⇒   v r m s = 0,022 v e s c a p e

    Passo 3

    E a Terra:

    v r m s = 3 ( 8,3145 J / m o l ⋅ K ) ( 240 K ) 2,02 × 10 - 3 k g / m o l = 1 , 65 × 10 3 m / s

    v e s c a p e = 1,12 × 10 4   m / s

    ⇒   v r m s = 0 , 15 v e s c a p e

    Passo 4

  2. A fuga de Júpiter não é provável para nenhuma molécula, enquanto a fuga da Terra é muito mais provável.

    3. Passo 5

  3. Então, temos que:

v r m s = 3 ( 8,3145 J / m o l ⋅ K ( 200 K ) 32,0 × 10 - 3 k g / m o l = 395   m / s

O raio do asteróide é:

R = 3 M 4 π ρ 1 / 3 = 4,68 × 10 5   m

E a velocidade de escape é:

v e s c a p e = 2 G M R = 542 m / s

Com o tempo, o O 2 todas as moléculas escapariam essencialmente e não existe tal atmosfera.

Como mostra a Figura 18.23 no livro, existem algumas moléculas na distribuição de velocidade que pode ter velocidades maiores que v r m s . Mas à medida que a velocidade aumenta acima de v r m s , o número de velocidades nessa faixa diminui.

Resposta

  1. Júpiter:   v r m s = 0,022 v e s c a p e

Terra: v r m s = 0,15 v e s c a p e

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