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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 15

Sejam P C , v C e T C as constantes críticas de um gás de Van der Walls. Mostre que, se exprimirmos a equação de Van der Waals em termos das variáveis reduzidas π = P / P C , ω = v / v C e τ = T / T C , ela assume uma forma universal, ou seja, a mesma para todas as substâncias.

Passo 1

Vamos começar lembrando da equação de Van der Walls:

P + a v 2 v - b = R T

E esses valores críticos que o enunciado menciona também têm suas próprias fórmulas:

v c = 3 b P c = a / 27 b 2 R T C = 8 a / 27 b

Beleza, até aqui nada novo, só jogamos algumas fórmulas. Para escrever aquela primeira equação em termos de ω , π e τ , vamos fazer o seguinte:

ω = v v c         ⇒           v = ω v c = 3 ω b

π = P P c         ⇒           P = π P C = π a 27 b 2

τ = T T C         ⇒           T = τ T C = τ 8 a 27 R b

Passo 2

Agora vamos substituir isso tudo na equação de Van der Waals pra ver no que dá:

P + a v 2 v - b = R T

π a 27 b 2 + a 3 ω b 2 3 ω b - b = R τ 8 a 27 R b

Primeiro vamos colocar a e b em evidência:

a b π 27 b 2 + 1 9 ω 2 b 2 3 ω - 1 = τ 8 a 27 b

Agora multiplicamos os dois lados por b / a :

b 2 π 27 b 2 + 1 9 ω 2 b 2 3 ω - 1 = τ 8 27

E então podemos cortar b 2 no lado esquerdo:

π 27 + 1 9 ω 2 3 ω - 1 = τ 8 27

Multiplicando tudo por 27 :

π + 3 ω 2 3 ω - 1 = 8 τ

Pronto! Chegamos na equação universal que o enunciado pediu.

Resposta

Demonstração. A equação universal é π + 3 ω 2 3 ω - 1 = 8 τ .

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