Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo R.1 - Ex. 38
Al e Bert são gêmeos. Al viaja a 0,600 c para Alpha Centauri (a 4,00 c⋅y da Terra, conforme medido no referencial da Terra) e retorna imediatamente. Cada gêmeo envia ao outro um sinal de luz a cada 0,0100 y, conforme medido em seu referencial. (a) A que taxa Bert recebe sinais enquanto Al se afasta dele? (b) Quantos sinais Bert recebe a essa taxa? (c) Quantos sinais totais são recebidos por Bert antes de Al retornar à Terra? (d) A que taxa Al recebe sinais quando Bert se afasta dele? (e) Quantos sinais Al recebe nesse ritmo? (f) Quantos sinais totais são recebidos por Al antes que Al retorne à Terra? (g) Qual gêmeo é mais jovem no final da viagem e por quantos anos?
Passo 1
(a)Bom, podemos escrever em termos do período T para cada sinal mais o período extra pelo fato de Al estar se afastando, ficamos com:
Esse período a mais para cada sinal pode ser escrito em termos do próprio período T e de um fator dado pela razão entre a velocidade da nave e a da luz:
O período entre cada sinal então será:
Pela equação que relaciona o período e a frequência, podemos escrever a frequência em que Bert recebe os sinais:
Escrevendo T em termos do período próprio no referencial de Al:
Substituindo na equação de frequência:
Substituindo valores numéricos para cada grandeza:
Passo 2
Na (b), vamos expressar o número de sinais N recebidos da seguinte maneira:
Onde são a frequência de sinais emitidos por Al, e é o tempo no referencial de Al.
Como Al está se movimentando a altas velocidades, o tempo é dilatado em relação ao referencial de Bert, então:
Calculando pela equação de velocidade média:
Substituindo na equação de N:
E colocando os valores numéricos de cada grandeza:
Passo 3
Na (c) basta calcularmos duas vezes o tempo de Al, um pela viagem de ida e outro pela volta:
E pela dilatação do tempo:
E usando a mesma equação do Passo 2 para o número de sinais, mas dessa vez considerando que será o dobro do tempo:
Substituindo :
E os valores numéricos:
Passo 4
(d) No referencial de Al, podemos dizer que ele está parado e Bert que está se afastando dele com a mesma velocidade que Al se afasta de Bert, por isso, a frequência que Al recebe será a mesma que Bert recebe:
Passo 5
(e) O número de sinais N recebidos por Al será dado por:
E como já temos a equação de :
Substituindo os valores:
Passo 6
(f) Nesse caso, precisamos da quantidade de sinais da ida, que já temos do item (e) mais a quantidade de sinais da volta
O numero de sinais da volta pode ser expressado como:
A questão é que a frequência da volta é diferente da ida, pois nesse caso o período será cada vez menor para cada sinal, já que a distância diminui entre os irmãos, o período então será dado pela diferença:
E a frequência então será:
E então o número de sinais recebidos na volta será:
E o total:
Passo 7
(g)E a diferença de idade entre os dois pode ser escrito pela diferença entre os tempos de cada irmão:
Substituindo os valores:
E Al será 2.67y mais novo que Bert.