Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 41.Problemas - Ex. 38
Para um átomo de hidrogênio, a prbobabilidade de encontrar o elétron no interior de uma camada esférica de raio interno e raio externo é dado pela equação (41.7). Para m átomo de hidrogênio no estado fundamental , em que o valor de a probabilidade atinge seu valor máximo? Como seu resultado se compara com a distância entre o elétron e o núcleo no estado no modelo de Bohr indicado pela equação 41.8?
Passo 1
A função de onda para o caso do elétron na camada é:
E a densidade de probabilidade pode ser interpretada como:
Para o caso de uma esfera de raio interno e raio externo .
Substituindo a função de onda:
Vamos chamar o termo constante de:
Passo 2
Se derivarmos o conteúdo da expressão do lado direito, sem considerar a parte diferencial:
E derivarmos em relação a e igualarmos tudo a zero, para obtermos o ponto de máximo da função que o enunciado pede:
Isolamos para encontrarmos o valor em que isso acontece:
A outra raiz, , corresponde ao ponto de mínimo da função.
Isso é exatamente a distância do elétron em relação ao núcleo no modelo de Bohr para a camada . (Usamos diretamente na equação da função de onda porque já sabemos que o valor coincide com o valor do raio de Bohr, calculado em seu modelo).