Exercícios de Energia do Átomo Hidrogenóide - Lista de Exercícios Resolvida

Quais são:

1. A energia
2. O módulo do momento
3. O comprimento de onda

Do fóton emitido quando um átomo de hidrogênio sofre uma transição de um estado com para um estado com ?

Um átomo de hidrogênio, inicialmente em repouso no estado , sofre uma transição para o estado fundamental, emitindo um fóton no processo.

Qual é a velocidade de recuo do átomo de hidrogênio?

Dados:

Massa do elétron

Massa do próton

Qual é o trabalho necessário para separar o elétron e o próton de um átomo de hidrogênio se o átomo se encontra inicialmente:

1. No estado fundamental.
2. No estado .

Um átomo (que não é um átomo de Hidrogênio) absorve um fóton com uma frequência de .

Qual é o aumento de energia do átomo?

A função de onda normalizada do elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio é dada por

onde é o raio de Bohr e é a distância ao núcleo.

1. Calcule a probabilidade de encontrarmos o elétron, no estado fundamental, dentro de uma esfera de raio centrada no núcleo.
2. Qual é o módulo do momento angular no modelo de Bohr e na mecânica quântica de Schrödinger para o elétron no estado fundamental? Expresse suas respostas em termos de .
3. Se um átomo de hidrogênio estiver no 3º nível excitado (), qual é o nível final atingido após a emissão de um fóton com maior comprimento de onda possível? Explique.

. PARTE

Um átomo de hidrogênio sofre uma transição eletrônica do estado para o estado , emitindo um fóton. A transição transcorre num intervalo de tempo , denominado “tempo de vida” do estado . Admitindo que a incerteza na posição do fóton seja igual ao comprimento do pulso de luz associado ao fóton emitido, estime a incerteza no momento linear do fóton.

A função de onda do elétron no átomo de hidrogênio, no estado , é dada por

onde é o raio de Bohr e é uma constante real.

Determine a região do espaço em torno do próton onde a energia deste elétron, na descrição da mecânica quântica, é menor do que a energia potencial do elétron, na descrição da mecânica clássica. Apresente a resposta em termos do raio de Bohr .

Use a condição de normalização para determinar o valor de .

Para este estado, escreva a expressão da distribuição de probabilidade radial (densidade de probabilidade radial). Calcule o valor de para o qual ela é máxima.

Calcule o valor numérico da probabilidade de encontrar o elétron a uma distância maior do que . Utilize as estimativas para potências de : , , , .

No modelo de Bohr os níveis de energia do átomo de hidrogênio são dados pela expressão , onde é uma constante e é um número inteiro.

Considere um elétron num átomo de hidrogênio no nível de energia com .

1. Calcule a frequência do fóton emitido, caso esse elétron fizesse uma transição para o estado fundamental.
2. Calcule a energia necessária para ionizar esse átomo, ou seja, para remover o elétron da camada com .

A função de onda do elétron no átomo de hidrogênio no estado é

onde é o raio de Bohr e é uma constante real.

(a) Para estes estados, dê os possíveis valores dos números quânticos , , e do elétron e também o módulo do seu momento angular orbital.

(b) Qual é a energia necessária para levar este elétron para o estado ?

(c) Use a condição de normalização para determinar o valor de .

(d) Calcule o valor médio de no estado

(ii) Um elétron de um átomo de hidrogênio tem os seguintes números quânticos: n = 2, l= 1, = -1 e ms= ½ .

(a) Quanto vale a energia deste elétron?

(b) Quanto vale a componente do momento angular orbital deste elétron na direção do eixo z?

O átomo de Hidrogênio foi estudado usando-se a equação de Schrödinger. Em consequência se obteve o momento angular com valor nulo no estado fundamental. Contudo, de acordo com o modelo de Bohr, não poderia haver valor nulo para esse mesmo momento angular. Explique esse fato a partir das relações entre os números quânticos (𝑛,𝑙,𝑚) e por comparação das expressões do momento angular para as duas teorias.

De acordo com a Mecânica Quântica, calcule o momento angular de um elétron no átomo de Hidrogênio para o nível de energia 𝑛 = 3 ; 𝑙 = 2 ;𝑚 = 0. Obtenha o valor da energia do átomo nesse estado.

(a) Seja um átomo de Hidrogênio em seu estado fundamental, Determine qual é a probabilidade de encontrar um elétron em 𝑟 = 0,5 com umaincerteza 𝛥𝑟 = 0,01. Sua resposta deve ser numérica (além de literal!).

Sugestão: pode-se aproximar se ΔV é uma casca esférica de pequena espessura Δr.

(b) Um átomo de Hidrogênio sofre uma transição e um fóton de λ = 486 nm é emitido. Encontre o nível inicial e final do átomo nessa transição.

(c) Discuta as diferenças e semelhanças nas descrições de Bohr e Schrödinger para o átomo de Hidrogênio.

Considere o átomo de hidrogênio composto por um elétron que transita do estado para o estado , emitindo um fóton.

Encontre o comprimento de onda do fóton emitido, em .

Dado que a transição acima ocorre num intervalo de tempo de , encontre a incerteza de , em .

Nesta questão denotamos por os estados do átomo de hidrogênio sem levar em conta o spin do elétron, onde , e são respectivamente os números quânticos principal, orbital e magnético. Os números quânticos magnéticos foram determinados com respeito a um campo magnético com componente somente na direção .

1. A função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio é

onde é o raio de Bohr. Calcule o valor da constante de normalização.

2. Um elétron está no estado . Considere a energia e o momento angular orbital e seu módulo . Quais são os valores de , e ?
3. Considere agora um átomo com muitos elétrons na aproximação onde se despreza a interação entre os elétrons. Neste caso, a função de onda de cada elétron é semelhante à do hidrogênio e possui os mesmos números quânticos. Levando em conta o número quântico de spin, determine o número máximo de elétrons que possuem o número quântico principal igual a .