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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 26.Problemas - Ex. 55

Um cabo de 20,0 m de comprimento consiste de um núcleo cilíndrico em níquel maciço, com 10,0 cm de diâmetro, envolto por uma casca cilíndrica em cobre, com 10,0 cm de diâmetro interno de 20,0 cm de diâmetro externo. A resistividade do níquel é igual a 7,8 × 10 - 3   Ω ⋅ m . (a) Qual é a resistência desse cabo? (b) Se considerarmos esse cabo como um material único, qual é a sua resistividade equivalente?

Passo 1

Os cabos C u e N i estão em paralelo. Para cada, R = ρ L / A .

O cabo composto é esboçado na Figura a seguir. A área da seção transversal do segmento de níquel é π a 2 e a área da porção de cobre é π ( b 2 - a 2 ) .

Para N i : ρ = 7,8 × 10 - 8 Ω ⋅ m

Para C u : ρ 1,72 × 10 - 8   Ω ⋅ m

Passo 2

  1. Assim, a resistência do cabo é dada por:

    2. 1 R c a b o = 1 R N i + 1 R C u .

    R N i = ρ N i L A = ρ N i L π a 2

    E

    R C u = ρ C u L A = ρ C u L π ( b 2 - a 2 ) .

    Portanto,

    1 R c a b o = π a 2 ρ N i L + π ( b 2 - a 2 ) ρ C u L .

    1 R c a b o = π L   a 2 ρ N i + b 2 - a 2 ρ C u = π 20   m   0,500   m 2 7,8 × 10 - 8   Ω ⋅ m + 0,100   m 2 - 0,050   m 2 1,72 × 10 - 8 Ω ⋅ m

    E

    R c a b o = 13,6 × 10 - 6   Ω = 13,6   μ   Ω

    Passo 3

  2. E a resistividade equivalente:

R = ρ L A = ρ L π b 2 .

Nos dá que

ρ = π b 2 R L = π 0,10 m 2 ( 13,6 × 10 - 6 Ω ) 20   m = 2,14 × 10 - 8 Ω ⋅ m  

resistividade efetiva do cabo é cerca de 25 % maior que a resistividade do cobre. Se o níquel tivesse resistência infinita e apenas a porção de cobre conduzida, a resistência do cabo seria de 14,6   μ Ω , o que não é muito maior que a resistência calculada na parte (a).

Resposta

  1. R c a b o = 13,6   μ   Ω
  2. 2,14 × 10 - 8 Ω ⋅ m
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