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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 85

Calcule a integral da Equação (18.31), ∫ 0 x v 2 f v   d v e compare o resultado com v 2 m é d como dada pela Equação (18.16). (Sugestão: você pode usar a integral fornecida em tabelas,

∫ 0 x x 2 n e - α x 2 d x = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 … ( 2 n - 1 ) 2 n + 1 a n   π α

onde n   é o numero inteiro positivo e α é uma constante positiva.)

Passo 1

Eaí galera, aqui nós vamos avaliar a integral na equação

( v ) m é d 2 = ∫ 0 ∞ v 2 f v d v

conforme especificado no problema.

Passo 2

Assim,

∫ 0 ∞ v 2 f v d v = 4 π m 2 π k T 3 / 2 ∫ 0 ∞ v 4 e - m v 2 / 2 k T d v

A fórmula da integral com n = 2 nos dá:

∫ 0 ∞ v 4 e - a v 2 d v = 3 8 a 2 π a

Passo 3

Aplicando com a = m / 2 k T :

∫ 0 ∞ v 2 f v d v = 4 π m 2 π k T 3 2 3 8 2 k T m 2 2 π k T / m = 3 2 2 k T m = 3 k T m

Passo 4

A equação do gás ideal, massa constante p 1 V 1 T 1 = p 2 V 2 T 2 = c o n s t a n t e   nos diz que:

1 2 m v 2 = 3 k T / 2

Então,

( v 2 ) = 3 k T m ,

de acordo com o nosso cálculo.

Resposta

3 k T m

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