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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 16

Calcule o trabalho realizado por um gás de Van der Waals numa expansão isotérmica à temperatura T , passando do volume molar v i para v f .

Passo 1

Primeiro vamos lembrar da fórmula para o trabalho realizado por um gás:

W = ∫ P d V

Ou, se quisermos definir um trabalho realizado “por mol de gás”, ficamos com:

w = ∫ P d v

Ok. Agora vamos encontrar uma fórmula para P . Já que estamos falando de um gás de Van der Waals, a fórmula é a seguinte:

P = R T v - b - a v 2

Então:

w = ∫ R T v - b - a v 2   d v

Temos que resolver essa integral durante uma expansão isotérmicas, em que o volume vai de um valor v i até v f :

w = ∫ v i v f R T v - b - a v 2   d v

Passo 2

Pra começar a resolver a integral, vamos separar em duas:

w = ∫ v i v f R T v - b - a v 2   d v

w = ∫ v i v f R T v - b   d v - ∫ v i v f a v 2   d v

É uma boa ideia resolver uma integral de cada vez. Começando pela da esquerda:

w 1 = ∫ v i v f R T v - b   d v

Já que a temperatura é constante, podemos tirar da integral:

w 1 = R T ∫ v i v f d v v - b   = R T ln ⁡ v - b v f v i

w 1 = R T ln ⁡ v f - b - ln ⁡ v i - b

w 1 = R T ln ⁡ v f - b v i - b

Agora vamos olhar pra integral da direita:

w 2 = - ∫ v i v f a v 2   d v

w 2 = - ∫ v i v f a v 2   d v = - - a v v f v i

w 2 = - a - 1 v f + 1 v i

Então vamos substituir:

w = w 1 + w 2

w = R T ln ⁡ v f - b v i - b + a 1 v f - 1 v i

Esse é o trabalho realizado por cada mol de gás.

Resposta

O trabalho realizado por cada mol do gás é w = R T ln ⁡ v f - b v i - b + a 1 v f - 1 v i .

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