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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 6

Ache: (a) a função de distribuição em energia F ( E ) , tal que F E d E é a fração das moléculas com energia entre E e E + d E , para um gás ideal em equilíbrio térmico T . A partir dela, calcule: (b) A energia média ⟨ E ⟩ , comparando o resultado com 1 2 m v q m 2 ; (c) a energia mais provável E p , comparando o resultado com 1 2 m v p 2

Passo 1

(a) A distribuição em energia é bem parecida com a distribuição em velocidade. A fórmula que relaciona as duas é a mesma de sempre:

E = 1 2 m v 2

Se a gente pegar a forma diferencial disso:

d E = m v   d v

Vamos ver como isso fica na distribuição F v nas velocidades:

F v = 4 π v 2 m 2 π k T 3 / 2 exp ⁡ - m v 2 2 k T   d v

É só reorganizar um pouco essa fórmula pra fazer o d E = m v   d v aparecer:

F v = 4 π 1 2 π k T 3 / 2 exp ⁡ - m v 2 2 k T   ( m 3 / 2 v 2 d v )

F v = 4 π 1 2 π k T 3 / 2 exp ⁡ - m v 2 2 k T   m 1 2 v m v d v

Agora sim:

F v = 4 π 1 2 π k T 3 / 2 exp ⁡ - m v 2 2 k T   m v d E

Mas ainda temos que fazer outras substituições pra ficar com F E :

m v = 2 E

m v 2 2 = E

Então:

F E = 4 π 1 2 π k T 3 / 2 exp ⁡ - 1 k T E   2 E d E

Agora precisamos simplificar um pouco. Primeiro vamos separar aqueles termos que estão elevados a 3 / 2 :

F E = 4 π 2 E 2 π k T 2 π k T exp ⁡ - 1 k T E   d E

Assim fica fácil cortar algumas coisas na fração:

F E = 2 E k T π k T exp ⁡ - 1 k T E   d E

F E = 2 π E k T 3 / 2 exp ⁡ - 1 k T E   d E

Pronto, chegamos na função que o enunciado pediu.

Passo 2

(b) A próxima tarefa é encontrar a energia média E . É só usar a fórmula de sempre para a média na distribuição de probabilidade:

E = ∫ 0 ∞ F E   E   d E

Usando a fórmula do item (a):

E = 2 π 1 k T 3 / 2 ∫ 0 ∞ E E exp ⁡ - 1 k T E   d E

E = 2 π 1 k T 3 / 2 ∫ 0 ∞ E 3 / 2 exp ⁡ - 1 k T E   d E

Essa integral é um pouco estranha, então vamos fazer uma substituição pra simplificar:

E k T = u 2         ⇒           2 u   d u = 1 k T   d E

Com isso a integral vai ficar assim:

E = 2 π 1 k T 3 / 2 ∫ 0 ∞ u 2 k T 3 / 2 exp ⁡ - u 2   d E

E = 2 π 1 k T 3 / 2 ∫ 0 ∞ k T   u 2 3 / 2 exp ⁡ - u 2   d E

E aqui já dá pra cortar algumas coisas:

E = 2 π ∫ 0 ∞ u 3 exp ⁡ - u 2   d E

E agora vamos trocar o d E :

E = 2 π ∫ 0 ∞ u 3 exp ⁡ - u 2   2 u   k T   d u

E = 4 k T π ∫ 0 ∞ u 4 exp ⁡ - u 2   d u

Passo 3

Ok, essa integral tá muito parecida com uma outra função que o livro mencionou nesse capítulo: a função gama:

Γ x = ∫ 0 ∞   t x - 1 e - t d t

Será que a gente consegue deixar a integral ali de cima nessa forma? Vamos tentar uma substituição:

y = u 2         ⇒         d y = 2 u   d u

E = 4 k T π ∫ 0 ∞ y 2 exp ⁡ - u 2 d y 2 u

Mas u = y , então:

E = 4 k T π ∫ 0 ∞ y 2 exp ⁡ - u 2 d y 2 y

E = 2 k T π ∫ 0 ∞ y 3 / 2 exp ⁡ - y d y

Ótimo, aquela integral ali é simplesmente a função gama com t = y e x = 5 / 2 :

Γ 5 2 = ∫ 0 ∞   y 5 2 - 1 e - y d t = ∫ 0 ∞   y 3 / 2 e - y d t

Ou seja:

E = 2 k T π Γ 5 2

Tá, agora vamos dar uma olhada em Γ ( 5 / 2 ) , depois voltamos nessa fórmula.

Passo 4

Primeiro vamos lembrar dessa propriedade aqui:

Γ x + 1 = x Γ x

Talvez com isso a gente consiga relacionar a nossa Γ ( 5 / 2 ) com uma função mais fácil de calcular, como Γ ( 1 / 2 ) , por exemplo, que tem um valor conhecido:

Γ 1 2 = π

Então vamos lá:

Γ 5 2 = Γ 3 2 + 1 = 3 2 Γ 3 2

E dando mais um passo:

Γ 3 2 = Γ 1 2 + 1 = 1 2 Γ 1 2

Ou seja:

Γ 5 2 = 3 2 Γ 3 2 = 3 2 1 2 Γ 1 2

Γ 5 2 = 3 4 Γ 1 2

E agora é só colocar o valor que já conhecemos:

Γ 5 2 = 3 4 π

Passo 5

Finalmente, vamos voltar lá na fórmula da energia média:

E = 2 k T π 3 4 π

E = 6 4 k T = 3 2 k T

Que é exatamente o que você encontra se usar m v q m 2 / 2 , já que:

v q m = 3 K T m

Pronto, vamos pro próximo item.

Passo 6

(c) Por fim, pra encontrar a velocidade mais provável, a gente tem que achar um ponto de máximo da função f E :

f E = 2 π E k T 3 / 2 exp ⁡ - 1 k T E  

Vamos derivar e igualar a zero:

d d E f E = 0

De cara as constantes vão sumir:

d d E   2 π E k T 3 2 exp ⁡ - 1 k T E = 0

d d E   E exp ⁡ - 1 k T E = 0

Aplicando a regra do produto:

1 2 E e - 1 k T E - E k T e - 1 k T E = 0

Dividindo os dois lados pela exponencial:

1 2 E - E k T = 0

1 2 E = E k T

E = k T 2

O enunciado pediu pra verificar se isso bate com a fórmula para a velocidade mais provável, que é essa aqui:

v p = 2 k T m

A energia associada a essa velocidade seria:

E p = m v p 2 2 = k T

Ou seja, é diferente da fórmula que a gente calculou.

Resposta

(a) A função é F E = 2 π E k T 3 / 2 exp ⁡ - 1 k T E .

(b) A energia média é E = 3 2 k T . Esse resultado concorda com a energia associada a v q m .

(c) E energia mais provável é E p = 1 2 k T . Esse resultado não concorda com a energia associada a v P , que é E p = k T .

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