Enunciado

O campo elétrico dentro de uma esfera não-condutora de raio R com carga espalhada com uniformidade por todo o seu volume, está radialmente direcionado e tem módulo dado por

E r = q r 4 π ϵ 0 R 3

Nesta expressão, q positiva ou negativa) é a carga total da esfera e r é a distância ao centro da esfera. (a) Tomando V = 0 no centro da esfera, determine o potencial V ( r ) dentro da esfera, (b) Qual é a diferença de potencial elétrico entre um ponto da superfície e o centro da esfera? Sendo q positivo, qual desses dois pontos tem maior potencial?

Passo 1

Fala galera, bora lá! Como a expressão do campo é dada, para determinar-se o potencial basta calcular a integral

V r - V 0 = - ∫ 0 r E   d r

V r - V 0 = - q 4 π ϵ 0 R 3 ∫ 0 r r   d r

V r - V 0 = - q r 2 8 π ϵ 0 R 3

Como V 0 = 0 , temos

V r = - q r 2 8 π ϵ 0 R 3

Passo 2

Na superfície r = R a diferença de potencial é

Δ V = V r - V 0

Δ V = - q 8 π ϵ 0 R

Como a diferença acima é negativa, o centro tem potencial maior.

Resposta

(a) V r = - q r 2 8 π ϵ 0 R 3

(b) Δ V = - q 8 π ϵ 0 R

(c) O centro tem potencial maior

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