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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 24.Problemas Adicionais - Ex. 92

Uma carga q está distribuída uniformemente em um volume esférico de raio R. Tome V = 0 no infinito. Determine (a) o potencial V para r < R ; (b) a diferença de potencial entre o ponto o r = R e o ponto r = 0 .

Passo 1

Podemos utilizar a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e a partir do campo encontrar o potencial elétrico. Utilizando a lei de Gauss:

∫ E d a = q e n v ε 0

E 4 π r 2 = q e n v ε 0

Como a carga q esta distribuída uniformemente no volume, podemos utilizar a razão entre o volume da superfície gaussiana , V G , e o volume total da esfera, V T :

q e n v = q V G V T

q e n v = q r 3 R 3

Portanto, o campo elétrico é :

E = q 4 π ε 0 r 2 r 3 R 3

E = q 4 π ε 0 r R 3

Passo 2

Agora, para calcular o potencial, vamos utilizar a seguinte relação:

V = V s – ∫ R r E d r

V = V s – q 4 π ε 0 R 3 ∫ R r r d r

V = V s – q 4 π ε 0 R 3 r 2 2 - R 2 2

O campo elétrico na superfície, V s , é dado por :

V s = q 4 π ε 0 R

Portanto:

V = q 4 π ε 0 R – q 4 π ε 0 R 3 r 2 2 - R 2 2

V = q 8 π ε 0 R 3 3 R 2 - r 2

Passo 3

Para calcular o item (b), basta utilizar a equação para o potencial na superfície e dentro da esfera:

Δ V = V S – V 0 = q 4 π ε 0 R - q 8 π ε 0 R 3 3 R 2

Δ V = V S – V 0 = 2 q 8 π ε 0 R - 3 q 8 π ε 0 R

Δ V = - q 8 π ε 0 R

Resposta

(a) V = q 8 π ε 0 R 3 3 R 2 - r 2

(b) Δ V = - q 8 π ε 0 R

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