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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 26.Exercícios e Problemas - Ex. 4

O capacitor de um circuito RC tem inicialmente a carga q 0 . Mostre por cálculo direto que a energia dissipada por efeito Joule no resistor, durante o completo descarregamento do capacitor, é igual a q 0 2 / 2 C .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Na seção 26.1.3 do livro, foi discutido em detalhe o circuito RC. Na presença de uma bateria o circuito é carregado e na ausência ele se descarrega. Na situação de descarga, a carga decai exponencialmente:

q t = q 0   e - t τ C ,

onde τ C = R C . Vale destacar também que nessa situação sem bateria, o resistor e o capacitor estão ligados com polaridades invertidas, de modo que as ddps em cada se cancelem. Isso significa que essas tensões são iguais em módulo.

Vamos encontrar primeiro a corrente no circuito:

I t = d q d t = - q 0 τ C   e - t τ C

Com isso, podemos escrever a expressão da potência dissipada no resistor:

P t = R I 2 = R q 0 2 τ C 2 e - 2 t τ C

Vale escrever:

1 τ C 2 = 1 R C ⋅ 1 τ C

Assim,

P t = q 0 2 C ⋅ 1 τ C e - 2 t τ C

Passo 2

Para calcular a energia total dissipada, integramos a potência no tempo de t = 0 até t = ∞ :

E d i s s i p a d a = ∫ 0 ∞ P t   d t = q 0 2 C ∫ 0 ∞ 1 τ C e - 2 t τ C   d t

Fazendo a integral, obtemos

E d i s s i p a d a = q 0 2 C - 1 τ C ⋅ τ C 2 e - 2 t τ C 0 ∞

Para t = ∞ a exponencial se anula e para t = 0 ela dá um, de modo que

E d i s s i p a d a = q 0 2 2 C

Era exatamente essa expressão que o enunciado pedia para a gente chegar 😉.

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

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