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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 23.Exercícios e Problemas - Ex. 9

Um fio de cobre de diâmetro igual a 0,50   m m é utilizado para a fabricação de um solenoide com comprimento de 17   c m , contendo 300 espiras de raio igual a 2,0   c m . Utilizando os resultados obtidos no 23.8P, calcule a voltagem que deve ser aplicada à bobina para que se obtenha uma corrente variando na forma I = 1,0   A ⋅ s e n   5000   t / s .

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem?

No último exercício nós deduzimos que quando a corrente é da forma I = I 0   s e n   ω t , a voltagem é dada por

V t = R I 0   s e n   ω t + ω L I 0 cos ⁡ ω t

Nesse exercício nos foi dado que

I 0 = 1,0   A                   e                   ω = 5000   s - 1

Para achar a expressão da voltagem, basta encontrar R e L .

Passo 2

Vamos procurar primeiro a resistência R , que será dada por

R = ρ l A

A resistividade do cobre é ρ = 1,7 ⋅ 10 - 8   Ω m . A área da seção transversal é

A = π r 2 = π 0,50 ⋅ 10 - 3 2 2 = 1,96 ⋅ 10 - 7   m 2

Já para o comprimento l do fio, vamos considerar que em cada espira o comprimento é 2 π r ' , onde r ' = 2   c m é o raio do solenoide. Como temo N = 300 espiras, segue que

l = N ⋅ 2 π r ' = 300 ⋅ 2 π ⋅ 0,02 = 38   m

Portanto,

R = 1,7 ⋅ 10 - 8 ⋅ 38 1,96 ⋅ 10 - 7 = 330   Ω

Passo 3

Agora vamos atrás da indutância L do solenoide. Sabemos que o fluxo magnético se relaciona com a indutância por

Φ B = L ⋅ I

Com isso, temos que

B ⋅ π r ' 2 ⋅ N = L   I

Mas sabemos que o campo do solenoide é

B = μ 0 N I l '

Nessa última expressão, l ' = 17   c m é o comprimento do solenoide. Com isso,

μ 0 N I l ' ⋅ π r ' 2 ⋅ N = L I → L = μ 0 N 2 π r ' 2 l '

Substituindo os valores:

L = 4 π ⋅ 10 - 7 ⋅ 300 2 ⋅ π 0,02 2 0,17 = 8,3 ⋅ 10 - 4   H

Assim,

R I 0 = 330 ⋅ 1,0 = 330   V

ω L I 0 = 5000 ⋅ 8,3 ⋅ 10 - 4 ⋅ 1,0 = 4,15   V

Logo,

V t = 330   V   s e n   5000   t / s + 4,15   V cos ⁡ 5000   t / s

Resposta

V t = 330   V   s e n   5000   t / s + 4,15   V cos ⁡ 5000   t / s

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