Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 31.9 - Ex. 45
Um circuito como o da Fig. 31-7 tem , , e . (a) Para que frequência angular a amplitude da corrente é máxima, como nas curvas de ressonância da Fig. 31-16? (b) Qual é o valor máximo? (c) Para que frequência angular a amplitude da corrente tem metade do valor máximo? (d) Para que frequência angular a amplitude da corrente tem metade do valor máximo? (e) Qual é o valor de , a largura de linha relativa a meia altura da curva de ressonância desse circuito?
Passo 1
A questão quer que estudemos a curva de ressonância de um circuito com corrente alternada. A primeira coisa que devemos fazer é achar onde ocorre o máximo da amplitude da corrente .
Sabemos que a amplitude da corrente é dada por
O máximo ocorre com . Assim,
Usando e , obtemos
Passo 2
Como a corrente máxima ocorre para , temos que
Usando e :
Passo 3
Agora queremos saber para quais valores de a corrente é metade do seu valor máximo, isto é
Como temos que
Vamos ter que
Assim,
Elevando a equação ao quadrado:
Tirando a raiz quadrada:
Não esqueça do sinal porque ele será crucial! Note que no fundo temos duas equações:
Passo 4
Agora, note que
Assim,
Multiplicando ambos os lados por :
Temos então duas equações de segundo grau:
Passo 5
Resolvendo a primeira equação, obtemos
Assim,
Como estamos interessados apenas em soluções positivas, vamos tomar
Substituindo os dados do problema:
Passo 6
Para a maior frequência, resolvemos a outra equação:
O discriminante será o mesmo e a solução será
Como queremos a solução positiva:
Usando os dados do problema:
Passo 7
Por fim, vamos calcular
Assim,