Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 41.Problemas - Ex. 39
Considere um átomo de hidrogênio no estado . a) Em que valor de a energia potencial torna-se igual à energia total ? Expresse sua resposta em termos de .Esse valor de é chamado de ponto de inversão clássico, porque nesse ponto uma partícula newtoniana para momentaneamente e inverte seu sentido. b) Para um valor de maior do que o valor do ponto de inversão classifco, . Classicamente, a partícula não pode estar nessa região, porque a energia cinética não pode ser negativa. Calcule a probabilidade de o elétron ser encontrado nessa região proibida pela física clássica.
Passo 1
a) Os níveis de energia do átomo de hidrogênio são dados por:
Para o caso da camada :
E o potencial eletrostático sobre o elétron devido ao núcleo é:
Como a carga do elétron é e a carga do núcleo é , onde é o número atômico, no caso do hidrogênio, , a equação pode ser escrita como:
Igualamos a energia e o potencial para encontrarmos o valor de onde ocorre a inversão clássica:
Isolando :
Simplificando:
Mas
É o valor do raio de Bohr , então:
Passo 2
b) A probabilidade de encontrarmos o elétron nessa região é dada pela integral da densidade de probabilidade no espaço de :
Em coordenadas esféricas, o diferencial de volume é dado por:
E a função de onda para a camada 1s:
A integral então é:
Aplicando os limites de integração:
A probabilidade de encontrarmos o elétron na região classicamente proibida é de . (LEMBRANDO: isso não significa que a energia do elétron é negativa para esse caso, mas sim que o modelo clássico não é suficiente para descrever fenômenos quânticos.)