Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Física - Moysés - Vol. 3- Ed: 1º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 9

Considere um solenóide de raio a e comprimento L , com n espiras por unidade de comprimento, percorrido por uma corrente i . Tome a origem O no centro do solenóide, com eixo x ao longo do eixo de simetria do cilindro. (a) Calcule a magnitude de B → x do campo magnético num ponto do eixo à distancia x do centro, tanto dentro como fora do solenoide. Quais os valores no centro e nas extremidades? (b) Obtenha e interprete o comportamento do B → x para x ≫ a , x ≫ L . (c) Com L = 10 a , trace um gráfico de B → x / B 0 em função de x / L para 0 ≤ x L ≤ 1,5 . Sugestão: Obtenha o campo do solenóide somando (integrando) o campo das espiras circulares ao longo do eixo.

Passo 1

Para resolvermos, vamos aceitar a querida sugestão do enunciado de como obter o campo no solenoide e iremos integrar para todo o objeto. Após isso vamos aplicar as condições de contorno para dentro e fora do solenoide. No item (b), vamos precisar utilizar uma expansão binomial para entendermos o comportamento da nossao função para os casos dados.

Passo 2

  1. Bom, vamos começar integrando para encontrar nosso campo para o solenoide. Se supormos que a corrente está no sentido anti-horário, mais ou menos como no esquema a seguir.

    2. Mais ou menos assim só que bem desenhado. Temos então, fazendo a regra da mão direita, que o campo gerado está sendo apenas na direção x , assim nossa variação da corrente é dada por

    d I = n ⋅ i ⋅ d l

    onde n é o número de espiras. Nossa gaussiana que melhor servirá para resolver o problema será uma circunferência, assim, como teremos apontando apenas na direção x , nosso caminho poderá ser escrito como d l = 2 π R d x . Usando Bio-Savart, temos que

    d B x = μ 0 4 π ⋅ I d l → × r → r 2 = μ 0 4 π ⋅ 2 π R 2 ⋅ n ⋅ i d x x 2 + R 2 3 2  

    Onde r = x 2 + R 2 . Se integrarmos agora de x 1 até x 2 , vamos ter que

    B x = 2 π R 2 ⋅ n ⋅ i ⋅ μ 0 4 π ⋅ ∫ x 1 x 2 d x x 2 + R 2 3 2      

    Se chamarmos x = R tan ⁡ u , teremos que nossa integral fica

    B x = 2 π R 2 ⋅ n ⋅ i ⋅ μ 0 4 π ⋅ 1 R 2 ⋅ ∫ x 1 x 2 d u sec ⁡ u   = 2 π R 2 ⋅ n ⋅ i ⋅ μ 0 4 π ⋅ 1 R 2 ⋅ x R 2 + x 2 1 2 x 1 x 2 =

    =   2 π R 2 ⋅ n ⋅ i ⋅ μ 0 4 π R 2 ⋅ x 2 R 2 + x 2 2 - x 1 R 2 - x 1 2

    Temos que esses dois extremos, x 2 e x 1 será sempre L 2 pra direita ou esquerda, porém teremos sempre que subtrair a posição arbitrária do ponto, com coordenada x . Assim, temos que

    x 1 = - L 2 - x e x 2 = L 2 - x

    Substituindo na equação que R = a , chegamos então que

    B x = n ⋅ i ⋅ μ 0 2 ⋅ L 2 - x a 2 + L 2 - x 2 + L 2 + x a 2 + L 2 + x 2

    Dentro do solenoide, teremos que a ≪ L , assim teremos que, como visto no livro para dentro de um solenoide, B 0 ≈ μ 0 ⋅ n ⋅ i . Para B L 2 , vamos ter que

    B L 2 = n ⋅ i ⋅ μ 0 2 ⋅ L a 2 + L 2

    Como a ≪ L , vamos ter que

    B L 2 = n ⋅ i ⋅ μ 0 2 ⋅ L a 2 + L 2 ≈ n ⋅ i ⋅ μ 0 2 ⋅ L L 2 = 1 2 ⋅ μ 0 ⋅ n ⋅ i = 1 2 B 0

    Passo 3

  2. Para x ≫ a e x ≫ L , vamos aplicar a expansão binomial, na qual

    3. 1 + x k = 1 + k x + k k - 1 2 ! x 2 + …

    Aplicando para nossa equação, vamos ficar com a expressão

    1 + L a - x a 2 1 2 = 1 + 1 2 L a - x a 2

    e

    1 + L a + x a 2 1 2 = 1 + 1 2 L a + x a 2

    Como x ≫ L   e   x ≫ a , vamos ter que podemos reduzir para

    1 + L a - x a 2 1 2 = 1 + 1 2 x 2 a 2  

    e

    1 + L a + x a 2 1 2 = 1 + 1 2 x 2 a 2  

    Assim, com algumas manipulações, chegamos que nossa equação fica

    B x = μ 0 ⋅ m 2 x 3

    Onde m é o momento de dipolo magnético do solenoide.

    Passo 4

  3. Plotando o gráfico, vamos ter algo do tipo

Resposta

  1. B x = n ⋅ i ⋅ μ 0 2 ⋅ L 2 - x a 2 + L 2 - x 2 + L 2 + x a 2 + L 2 + x 2
  2. B x = μ 0 ⋅ m 2 x 3
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um toróide de seção reta quadrada, com 5,00c m de lado e um raio interno de 15,0c m , tem 500 espiras e conduz uma corrente de 0,800A . (O toroide é feito a partir de um solenóide quadrado, em vez de
Um solenoide de 200 espiras com 25c m de comprimento e 10c m de diâmetro conduz uma corrente de 0,29A . Calcule o módulo do campo magnético no interior do solenoide.
Um elétron é introduzido em uma das extremidades de um solenoide. Ao penetrar no campo magnético uniforme que existe no interior do solenoide, o eletron tem uma velocidade escalar de 800m / s e seu ve
Mostre que a espessura de um toroide é muito menor que o raio de curvatura, a Eq 29-24 para o campo no interior de um toroide se reduz à Eq. 29-23 para o campo no interior de um solenoide. Explique po
Um toroide tem uma seção reta quadrada de 5,00c m de lado, um raio interno de 15,0c m , 500 espiras e uma corrente de 0,800A . Qual é o fluxo magnético através da seção reta do toroide?