Enunciado
Física - Serway e Jewett - Física para cientistas e engenheiros - Vol1 - Ed: 1º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 18e
Um corpo se move ao longo do eixo x de acordo com a equação , em que está em metros e em segundos. Determine
- a velocidade escalar média entre t = 2,00 s e t = 3,00 s,
- a velocidade instantânea em t = 2,00 s e em t = 3,00 s,
- a aceleração média entre t = 2,00 s e t = 3,00 s, e
- a aceleração instantânea em t = 2,00 s e t = 3,00 s.
- Em qual instante o corpo está em repouso?
Passo 1
a.Então, gente, a velocidade escalar média é a velocidade média que desconsidera o sentido do deslocamento do corpo, é literalmente só a média dos módulos das velocidades que o corpo desenvolve ao longo do percurso.
Pra calcular a velocidade escalar média entre e , primeiro a gente determina as posições do corpo nesses instantes. Vamos ter:
Pra :
Pra :
Com isso, a gente tem como calcular e , em que . Temos:
Então:
Passo 2
b.A velocidade instantânea, diferente da média, é a velocidade em um determinado instante, e não a média de velocidade entre 2 instantes.
Essa velocidade a gente consegue determinar pela derivada da função . Derivando, nós temos:
Agora, só aplicar os valores e pra determinar as velocidades nesses instantes:
Passo 3
c.A aceleração média é dada pela razão entre variação da velocidade entre dois instantes e o tempo decorrido entre esses instantes. Matematicamente, a gente tem:
A gente já sabe as velocidades nos instantes e , que calculamos no último Passo. Dá pra achar fácil :
E já temos , que vale . Com isso, a aceleração média vale:
Passo 4
d.A aceleração instantânea vai ser dada pela derivada da função , que a gente determinou no Passo 2. Derivamos ela de novo e vamos ter:
Com isso, a gente vê que a aceleração sempre vai valer , independentemente do instante que for calculada!
Logo, nos instantes pedidos, em em qualquer outro instante, ela vai ter esse valor!
Passo 5
e.O instante de repouso vai acontecer quando o corpo tiver velocidade zero. Nós já determinamos a função no passo 2. Vamos determinar pra quando então!
Temos:
Resposta
a.
b.
c.
d.
e.