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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 14º - Capítulo 21.Exercícios - Ex. 83

Um disco uniformemente carregado, como o indicado na Figura 21.25, possui raio de 2,50   c m e carga igual a 7,0 × 10 - 12 C .

(a) Encontre o campo elétrico (módulo, direção e sentido) sobre o eixo x para x = 20,0   c m .

(b) Mostre que, para x   > >   R , a Equação 21.11 se transforma em E = Q / 4 π ϵ 0 x 2   , onde Q é a carga total sobre o disco.

(c) Verifique se o módulo do campo elétrico que você encontrou no item (a) é maior ou menor que o do campo elétrico a 20,0   c m de distância de uma carga puntiforme que possui a mesma carga que a carga total existente no disco. Com base na aproximação usada na parte (b) para deduzir E = Q / 4 π ϵ 0 x 2 para uma carga puntiforme a partir da Equação 21.11, explique a razão desse comportamento.

(d) Calcule a diferença percentual entre o campo elétrico produzido pelo disco e o campo elétrico produzido por uma carga puntiforme com a mesma carga para x = 20,0   c m e para x = 10,0   c m .

Passo 1

Olá, tudo bem? Vou ajudar você aqui!

Letra (a):

O campo elétrico de um disco é dado pela equação 21.11 :

E x = σ 2 ϵ 0 1 - 1 R 2 x 2 + 1

E sabendo que σ = Q A = Q π R 2 temos:

E x = Q 2 ϵ 0 π R 2 1 - 1 R 2 x 2 + 1

Os dados são:

R = 2,5 × 10 - 2

Q = 7 × 10 - 12

x = 20 × 10 - 2

ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12

Agora é só substituir:

E x = ( 7 × 10 - 12 ) 2 ( 8,85 × 10 - 12 ) π ( 2,5 × 10 - 2 ) 2 1 - 1 ( 2,5 × 10 - 2 ) 2 ( 20 × 10 - 2 ) 2 + 1

E x = 201,41 7,72 × 10 - 3 = 1,56 N / C

Passo 2

Letra (b):

Partindo da equação dada:

E x = σ 2 ϵ 0 1 - 1 R 2 x 2 + 1 = σ 2 ϵ 0 1 - x x 2 + R 2

Quando x ≫ R , podemos expandir o denominador com a raiz:

1 x 2 + R 2 = 1 x 1 + R 2 x 2 1 2 = 1 x 1 - R 2 2 x 2 = 1 x - R 2 2 x 3

E substituindo essa expressão no campo temos:

E x = σ 2 ϵ 0 1 - x 1 x - R 2 2 x 3 = σ 2 ϵ 0 1 - 1 + x R 2 2 x 3

E x = σ R 2 4 ϵ 0 x 2

E por fim, temos que σ = Q / π R 2 , então o campo fica:

E x = 1 4 π ϵ 0 Q x 2

Passo 3

Letra (c):

Para uma carga puntiforme:

E = k Q d 2 = 9 × 10 9 . 7 × 10 - 12 20 × 10 - 2 2 = 1,575 N / C

Portanto, o campo encontrado em (a) é menor.

Passo 4

Letra (d):

Juntando os dados dos passos anteriores, para x = 20 c m :

% = E p o n t o - E d i s c o E p o n t o = 1,575 - 1,56 1,575 . 100 % = 0,84 %

Agora para x = 10 c m . Considerando pontual:

E p o n t o = k Q d 2 = 9 × 10 9 . 7 × 10 - 12 10 × 10 - 2 2 = 6,3 N / C

E agora para o disco:

E d i s c o = ( 7 × 10 - 12 ) 2 ( 8,85 × 10 - 12 ) π ( 2,5 × 10 - 2 ) 2 1 - 1 ( 2,5 × 10 - 2 ) 2 ( 10 × 10 - 2 ) 2 + 1

E d i s c o = 6,0135

E o percentual:

% = E p o n t o - E d i s c o E p o n t o = 6,3 - 6,0135 6,3 . 100 % = 4,76 %

Resposta

a ) 1,56 N / C

b ) d e m o n t r a ç ã o

c )   m e n o r ,   1,575 N / C

d ) 0,84 %   e   4,76 %

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