Dois carros, A e B, se deslocam ao longo de uma linha reta. A distância de A ao ponto inicial é dada em função do tempo por , com e . A distância de B ao ponto inicial é dada em função do tempo por , onde e . a) Qual carro está na frente logo que eles saem do ponto inicial? b) Em que instante(s) os carros estão no mesmo ponto? c) Em que instante(s) a distância entre os carros A e B não aumenta nem diminui? d) Em que instante(s) os carros A e B possuem a mesma aceleração?

Para o carro A: , então,

E para encontrar a aceleração, derivamos :

Para o carro B: , então:

E para encontrar a aceleração, derivamos :

a) O carro que inicialmente se move à frente é o que tem o maior (velocidade inicial).

Inicialmente, temos que . Então vamos nas equações encontradas nos passos anteriores.

Para o carro A:

Para o carro B:

Então, inicialmente, o carro A se move a frente.

b)

Os carros no mesmo ponto implica em:

O que implica em:

Uma solução é fazer , o que diz que eles começam do mesmo ponto.

Outra solução é encontrarmos um novo tempo. Dividindo tudo por :

E em seguida aplicamos uma formulinha de Bhaskara:

Fazendo: temos que:

E sabendo que:

Portanto:

Quando:

c)

A distância de A a B é: .

A taxa de mudança desta distância é dada pela derivada dessa distância em relação ao tempo, :

Se esta distancia não varia em função do tempo, , isso significa que:

Mas isso nos diz que:

Ou seja, a distância entre A e B não está diminuindo ou aumentando no instante em que eles têm a mesma velocidade.

Isso implica que:

Aplicando a formulinha de Bhaskara novamente:

Fazendo: temos que:

E sabendo que:

Portanto:

Quando:

d)

Para que eles possuam a mesma aceleração, precisamos que:

Agora, como não temos um , podemos calcular o tempo, , isolando-o: