Enunciado
Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 15.Exercícios e Problemas - Ex. 16
Dois discos de raio igual a está separados pela distância de e com seus eixos de simetria coincidentes. Um disco tem densidade de carga uniforme e outro tem densidade de carga também uniforme . Calcule aproximadamente a força entre os dois discos.
Passo 1
Esse é aquele típico exercício que a gente lê e pensa: impossível fazer! De fato, se a gente quiser uma resposta exata é impossível fazer na mão, só o computador pode fazer... Mas a ideia aqui é treinar um pouco nossa intuição e achar uma resposta aproximada!
Por que esse problema é impossível de resolver na mão exatamente? Pense na situação: queremos achar a força entre dois discos carregadas. O caminho seria primeiro achar o campo produzido por um dos discos em todo o espaço e assim ver a força que aparece no segundo disco devido a esse campo.
O problema é: nós só sabemos calcular o campo de um disco no seu eixo de simetria e, para resolver esse problema exatamente nós precisaríamos desse campo no espaço todo, o que não sabemos achar.
Para vocês que são mais curiosos, até dá para escrever uma expressão para o campo no espaço todo usando séries e harmônicos esféricos, mas isso foge completamente do escopo desse livro e com certeza não é isso que o exercício quer que você faça.
Passo 2
Ok, até agora eu só estou enrolando você e dizendo que não dá para resolver o problema exatamente, mas como chegar numa aproximação razoável? O segredo está na comparação do raio dos discos com a distância entre eles. Observe que
Portanto, a distância entre os discos é 1% do raio deles. Isso significa que as dimensões dos discos são tão maiores que a distância entre eles que podemos aproximar o campo produzido por um disco sobre o outro como se fosse o campo elétrico de um plano infinito, dado por
Isso é claramente uma aproximação, o campo não será uniforme, mas essa aproximação é bem razoável para esse problema.
Daí, a força infinitesimal sobre um pedacinho de carga sobre o segundo cilindro será
Daí, para achar a força total basta integrar:
Esse foi o ponto que a aproximação ajudou muito: se não fizéssemos a aproximação, o campo seria diferente e a apontaria em direções diferentes para cada elemento de carga e não poderia ser tirado para fora da integral, o que dificultaria muito nosso trabalho. Com a aproximação tudo ficou bem mais simples!
A carga sobre o segundo disco será simplesmente o produto da densidade pela área do disco:
Estou trabalhando apenas com os módulos aqui, por isso não estou me preocupando com os sinais. É evidente que como os discos estão carregados com cargas opostas eles vão se atrair!
Substituindo uma relação na outra:
Logo,
Passo 3
Agora é só substituir os valores:
Fazendo as contas, achamos