Enunciado

Dois fios, paralelos ao eixo z e separados por uma distância de 4 r , conuem correntes iguais i em sentidos opostos, como mostra a figura 32-28. Um cilindro circular de raio r e comprimento L tem o eixo central sobre o eixo z , a meio caminho entre os fios. Com base na lei de Gauss, escreva uma expressão para o fluxo magnético através da metade da superfície lateral do cilindro que está acima do eixo x .

Passo 1

E aí! tudo certinho? 😊

Pessoal, um grande físico (e matemático e astrônomo porque essa galera não cansava de atuar nas mais diferentes áreas) chamado Gauss deu uma revolucionada na física com a lei de Gauss aplica ao magnetismo e ao eletromagnetismo.

No eletromagnetismo, ele disse que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada em volta de uma vara é proporcional a essa carga, ou seja, o número de linhas de campo elétrico saindo da superfície depende domente da carga total no seu interior. Essa propriedade é baseada no fato que as linhas de campo elétrico começam e terminam em cargas elétricas.

Bacana, não é? 😉

Passo 2

Já para campos magnético, que são contínuos e formam curvas fechadas, a situação é um pouco diferente!

O que acontece aqui é que as linhas de campo não começam e terminam em qualquer ponto, conforme a figura (a) a seguir.

Podemos observar que qualquer superfície fechada, tal como a linha tracejada na figura da esquerda acima, o número de linhas que entram é igual ao número de linhas que saem, então o fluxo magnético é zero! No contrário, para uma superfície fechada ao redor de uma carga de dipolo elétrico, conforme a figura da direita, o fluxo elétrico total não é zero.

Assim,

∮ B → . d A → = 0

Tranquilo? 😇

Passo 3

Logo, usando a lei de Gauss para campos magnéticos, o fluxo S 1 através da metade da superfície lateral do cilindro que está acima do eixo x é igual ao fluxo S 2 através da parte do plano x z que está no interior do cilindro.

Assim,

ϕ B S 1 = ϕ B S 2 = ∫ - r r B x L d x = 2 ∫ - r r B e s q u e r d o ( x ) L d x

ϕ B S 1 = ϕ B S 2 = 2 ∫ - r r μ o i 2 π ⋅ 1 2 r - x L d x

ϕ B S 1 = ϕ B S 2 = μ o i L π l n ⁡ ( 3 )

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😬

Resposta

O fluxo magnético através da metade da superfície lateral do cilindro que está acima do eixo x é:

ϕ B S 1 = μ o i L π l n ⁡ ( 3 )

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