Enunciado
Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 2.10 - Ex. 70
Duas partículas se movem ao longo do eixo. A posição da partícula 1 é dada por , onde está em metros e em segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por , onde está em metros por segundo ao quadrado e em segundos. No instante , a velocidade da partícula 2 é . Qual é a velocidade das partículas no instante em que têm a mesma velocidade?
Passo 1
Show de bolinhas pessoal, esse problema envolve duas partículas e pede a velocidade das partículas no instante em que ambas possuem a mesma velocidade. Para isso, o problema nos deu a função de deslocamento de uma das partículas e a função da aceleração da outra. Como nós estamos interessados na velocidade, precisamos encontrar a função da velocidade de cada partícula e, a partir daí, encontrar a velocidade das partículas no instante () em que têm a mesma velocidade ().
Para começar, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade, de forma que:
Então podemos expressa a velocidade como:
Já para a posição, temos que sua derivada nos retorna a velocidade, tal que:
A partir dessas definições, conseguimos encontrar a velocidade de cada partícula.
Passo 2
Vamos encontrar a função da velocidade da partícula 1. Como nos foi dado a função da posição, vamos derivar essa função e encontrar a velocidade:
Logo:
Iradoso, agora pra gente encontrar a função da velocidade da partícula 2, vamos integrar a função da aceleração:
Tal que:
Só não vale esquecer da constante de integração, hein? Como estamos calculando a função da velocidade o nada mais é que nossa velocidade quando :
Que é exatamente igual a velocidade inicial que também foi dada no problema como:
Assim, a função da velocidade da partícula 2 é:
Então agora a gente só precisa encontrar o tempo onde as velocidade e são iguais.
Passo 3
Belezera, para isso vamos igualar as funções das velocidade e :
Igualando:
Agora, se a gente resolver essa equação do segundo grau, vamos ter que:
Encontramos aproximadamente:
Como não existe , então o tempo onde as velocidades são iguais é:
Passo 4
Substituindo o tempo encontrado, em uma das equações da velocidade, encontramos a velocidade das partículas:
Para esta etapa, vamos escolher a função da partícula 1 porque é uma equação do 1º grau, logo:
Portanto: