O gráfico da velocidade em função do tempo para uma partícula que parte da origem e se move ao longo do eixo O x está representado na Fig. 2.19. (a) Trace os gráficos da aceleração a ( t ) e da posição x ( t ) para 0 ≤ t ≤ 16 . (b) Quantos m a partícula terá percorrido ao todo (para frente e para trás) no fim de 12 s ? (c) Qual é o valor de x nesse instante?

Passo 1

a) Eae galera, pra traçar nossos gráficos vamos pensar nos conceitos de velocidade e aceleração, ok?

a = d v d t

No primeiro trecho ( 0 ≤ t ≤ 8 s ) temos uma acelereção constante (pois o gráfico de v por t é uma reta), então podemos escrever

a = Δ v Δ t = 12 - 0 8 - 0 = 1,5   m / s 2       p a r a   0 s ≤ t < 8 s

No segundo trecho a aceleração é negativa, então vamos ter

a = Δ v Δ t = - 12 - 12 12 - 8 = - 6   m / s 2       p a r a   8 s ≤ t < 12 s

E no último trecho a velocidade não varia. Isso significa que a aceleração é nula

a = 0     p a r a   12 ≤ t < 16

E o gráfico dessa aceleração seria algo assim:

Passo 2

Agora vamos procurar a posição em função do tempo. Como nosso movimento tem 3 partes, vamos escrever três s ( t ) e, como os movimentos tem aceleração constantes, esses s ( t ) são da seguinte forma

s t = s 0 + v 0 t - t 0 + a t - t 0 2 2

Então, vamo lá!

O primeiro trecho começa em t 0 = 0 , tem velocidade inicial v 0 = 0 e aceleração 1,5 m / s 2 (achamos essa aceleração no passo anterior, lembra?). Vamos supor que o movimento comece também em s 0 = 0 .

s t = 1,5 t 2 2   p a r a   0 ≤ t < 8 s

Esse trecho é uma parábola com concavidade para cima que começa em s 0 = 0 e termina em s 8 = 48   m .

O segundo trecho começa em t 0 = 8 s e s 0 = 48   m , tem velocidade inicial v 0 = 12 m / s e aceleração a = - 6 m / s 2

s t = 48 + 12 t - 8 - 6 t - 8 2 2   p a r a   8 s ≤ t < 12 s

Essa é uma parábola com concavidade para baixo que começa em s 8 = 48   m e termina em s 12 = 48 m

O último trecho começa em t 0 = 12 s e s 12 = 48   m , tem velocidade v = - 12 m / s e aceleração nula.

s t = 48 - 12 t - 12   p a r a   12 s ≤ t < 16 s

Que vai ser uma reta decrescente que começa em s 12 = 48 m e termina em s 16 = 0 m

Desenhando tudo isso em figura só, vamos ter

Passo 3

b) Aqui a pergunta tem uma pegadinha, por que o enunciado perguntou quantos metros a partícula andou para frente e para trás, ou seja, o enunciado não quer

Δ s = s f - s i

Mas sim o quanto ela andou de fato!

Parece meio chato, mas fica tranquilo de fazer isso olhando o gráfico do passo anterior 😉

Lá no gráfico de 0 a 12 s a partícula chega até a posição máxima 60 m e depois volta pra posição 48 m (que achamos lá no passo 2!).

Na primeira parte (na subida do gráfico) a partícula percorreu 60 m e na segunda parte percorreu 60 - 48 = 12 m , então o seu deslocamento será

d = 60 + 12 = 72 m

Passo 4

c) Já vimos lá no passo 2 qual seria o valor de x ( 12 ) , não é mesmo? Então toma aqui de graça haha

x 12 = 48 m

Resposta

𝑎) Gráficos dos passos 1 e 2

b) 72 m

c) 48 m

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