Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 32.10 - Ex. 43
Um elétron com uma energia cinética está se movendo em uma trajetória circular cujo plano é perpendicular a um campo magnético uniforme orientado no sentido positivo do eixo . O elétron está sujeito apenas à força exercida pelo campo. (a) Mostre que o momento dipolar magnético do elétron devido ao movimento orbital tem sentido oposto ao do campo magnético e seu módulo é dado por . Determine (b) o módulo e (c) a direção do momento dipolar magnético de um íon positivo de energia cinética nas mesmas circunstâncias. (d) Um gás ionizado possui e a mesma concentração de íons. Supondo que a energia cinética média dos elétrons é e a energia cinética média dos íons é , calcule a magnetização do gás quando submetido a um campo magnético de .
Passo 1
Bom, imagine uma partícula com uma carga ( se ela tiver carga positiva e se ela tiver carga negativa) girando num movimento circular devido a um campo magnético uniforme. A força responsável por manter a partícula num movimento circular é
No caso do elétron girando, temos . Assim, como a força deve apontar “para dentro” da trajetória, o elétron deve estar girando no sentido anti-horário (visto por cima do plano ).
Agora vem uma pegadinha: lembre-se que o sentido da corrente é oposto ao movimento dos elétrons. Desta forma, usando o modelo de espiras para o momento magnético, vemos que a corrente percorre o sentido horário, de modo que pela regra da mão direita, o momento magnético aponta na direção negativa do eixo , se opondo ao campo!
Passo 2
Para calcular o módulo do momento dipolar, lembre-se que ele é dado por
Mas
Por outro lado, o raio é dado por
Portanto,
Note que para o íon positivo as respostas serão as mesmas: o sentido do movimento do íon será invertido com relação ao elétron. Porém como o íon é positivo, este já será o sentido correto da corrente, de modo que ela também estará no sentido horário! O módulo de é calculado da mesma forma...
Passo 3
Por fim, queremos a magnetização do conjunto de elétrons e íons. Foi nos dado que a concentração deles era . Assim, como a magnetização é o momento do dipolo por unidade de volume, temos que para um número de partículas ocupando um volume :
Mas como , temos que
Assim, fazendo as contas para os elétrons e para os íons:
Assim,
Portanto,
Substituindo os valores: