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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 77

Considere uma espaçonave percorrendo uma órbita elíptica em torno da Terra. Em seu ponto inferior, ou perigeu de sua órbia, ela está a uma altura de 400 km acima da superfície terrestre; em seu ponto superior, ou apogeu de sua órbita, ela está a uma altura de 2000 km acima da superfície terrestre. a) Qual é o período da órbita da espaçonave? b) Usando a conservação do momento angular, ache a razão entre a velocidade no apogeu. c) Usando a conservação da energia, ache a velocidade no perigeu e a velocidade no apogeu. d) Desejamos fazer a espaçonave escapar completamente da Terra. Se os motores dos foguetes forem acionados durante o perigeu, quanto a velocidade deve aumentar para atingir esse objetivo? E se os motores forem acionados durante o apogeu? Qual é o ponto da órbita mais eficiente para se usar?

Passo 1

E aí galera!? Temos uma nave espacial orbitando em torno da terra. Temos que:

h a = 2000   k m

h p = 400   k m

Onde h a e h p são as alturas no apogeu e perigeu, respectivamente.

A primeira coisa que temos que responder é qual o período da órbita da espaçonave. Pra isso vamos usar a equação da órbita elíptica em torno do Sol:

T = 2 π a 3 / 2 G m S ,

Aplicada aos satélites que orbitam a Terra em vez do Sol.

O a é o raio da orbita que o planeta descreve. Aqui temos uma órbita elíptica, então:

2 a = r a + r p = R T + h a + R T + h p

Onde h a e h p são as alturas no apogeu e perigeu, respectivamente.

a = R T + h a + h p 2

a = 6,38 × 10 6   m + 400 × 10 3 + 4000 × 10 3   m 2 = 8,58 × 10 6   m

Assim,

T = 2 π a 3 / 2 G M T = 2 π ( 8,58 × 10 6   m ) 3 / 2 6,673 × 10 - 11 N ⋅ m 2 / k g 2 ) ( 5,97 × 10 24 k g ) = 7,91 × 10 3   s

Passo 2

  1. A conservação do momento angular fornece

    2. r a v a = r p v p

    v p v a = r a r p = 6,38 × 10 6 m + 4,00 × 10 6   m 6,38 × 10 6 m + 4,00 × 10 5   m = 1,53

    Passo 3

  2. A conservação de energia aplicada ao apogeu e perigeu dá

    3. K a + U a = K p + U p

    1 2 m v a 2 - G m T m r a = 1 2 m v p 2 - G m T m r p

    v p 2 - v a 2 = 2 G m T 1 r p - 1 r a = 2 G m T r a - r p r a r p

    Mas v p = 1,532   v a , então

    1,347   v a 2 = 2 G m T r a - r p r a r p

    v a = 5,51 × 10 3   m / s ,

    v p = 8,43 × 10 3   m / s

    Passo 4

  3. Precisa v para que E = 0 , onde E =     K + U .

No perigeu:

1 2 m v p 2 - G m T m r p = 0

��� v p = 2 G m T r p = 2 ⋅ ( 6,673 × 10 - 11 N ⋅ m 2 / k g 2 ) ⋅ ( 5,97 × 10 24 ) 6,78 × 10 6   m = 1,084 × 10 4   m / s

Isso significa um aumento de 1,084 × 10 4   m / s - 8,43 × 10 3   m / s = 2,41 × 10 3   m / s .

No apogeu:

v a = 2 G m T r a = 2 ⋅ ( 6,673 × 10 - 11 N ⋅ m 2 / k g 2 ) ⋅ ( 5,97 × 10 24 ) 1,0388 × 10 7   m = 8,761 × 10 3   m / s

Isso significa um aumento de 8,761 × 10 3   m / s - 5,51 × 10 3   m / s = 3,25 × 10 3     m / s .

O perigeu é mais eficiente. Neste ponto, r é menor, então v é maior e o satélite tem mais cinética energia e mais energia total.

Resposta

  1. T = 7,91 × 10 3   s
  2. v p v a = 1,53
  3. v a = 5,51 × 10 3   m / s , v p = 8,43 × 10 3   m / s
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