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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 26.Exercícios e Problemas - Ex. 21

Uma esfera de raio R , constante dielétrica κ e condutividade σ está inicialmente ( t = 0 ) carregada com uma densidade de carga uniforme ρ 0 .

a) Calcule o fluxo de corrente em t = 0 na casca esférica de raio r < R .

b) Mostre que a densidade de carga no interior da esfera será sempre uniforme e decairá no tempo na forma

ρ t = ρ 0 e - σ t κ ϵ 0

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Esse é um exercício um pouco diferente e requer um pouco mais da gente. Mas bora lá resolver para finalizar esse livro maravilhoso!

Antes de discutir esse problema em particular, vamos lembrar um pouco sobre o capacitor esférico:

O campo elétrico entre as placas é dado por

E → = 1 4 π κ ϵ 0 ⋅ Q r 2 r ^

Com isso, a diferença de potencial era

φ + - φ - = - ∫ - + E → ⋅ d r → = - Q 4 π κ ϵ 0 ∫ R 2 R 1 d r r 2 = Q 4 π κ ϵ 0 1 R 1 - 1 R 2

Desta forma, a capacitância do sistema era

C = Q φ + - φ - = 4 π κ ϵ 0 1 R 1 - 1 R 2

Passo 2

Vamos calcular agora a resistência entre as duas placas. Para isso, vamos usar a lei de Ohm:

d R = 1 σ ⋅ d r A

Como A = π r 2 , temos que

d R = 1 σ π ⋅ d r r 2

Agora basta integrar de r = R 1 até r = R 2 :

R = 1 σ π ∫ R 1 R 2 d r r 2 = 1 σ π 1 R 1 - 1 R 2

Passo 3

Para calcular a corrente que atravessa a esfera de raio r < R , vamos usar a tensão é

V = Q 4 π κ ϵ 0 1 r - 1 R ,                 Q = ρ 0 ⋅ 4 π r 3 3

Vale destacar que isso é para t = 0 apenas! Podemos escrever ainda:

V = ρ 0 r 3 3 κ ϵ 0 1 r - 1 R

Daí, temos que

V = R I → ρ 0 r 3 3 κ ϵ 0 1 r - 1 R = 1 σ π 1 r - 1 R I

Logo,

I = ρ 0 σ π r 3 3 κ ϵ 0

Passo 4

Para o item (b), vamos usar a equação da continuidade:

∇ ⋅ j → + ∂ ρ L ∂ t = 0

Para um instante de tempo qualquer, temos que

I = ρ σ π r 3 3 κ ϵ 0 → j → = ρ σ π r 3 3 κ ϵ 0 ⋅ π r 2 r ^ = ρ σ r 3 κ ϵ 0   r ^ = A r   r ^

A divergência em coordenadas esféricas é

∇ ⋅ j → = 1 r 2 ∂ ∂ r r 2 A r = 1 r 2 ∂ ∂ r ρ σ r 3 3 κ ϵ 0 = ρ σ κ ϵ 0

Desta forma, a equação diferencial fica

ρ σ κ ϵ 0 + d ρ d t = 0 → d ρ d t = - σ κ ϵ 0 ρ

A solução dessa EDO é

ρ t = ρ 0   e - σ t κ ϵ 0

Era exatamente isso que o enunciado pedia para você chegar! Esse foi o último exercício do livro 😉!

Resposta

I = ρ 0 σ π r 3 3 κ ϵ 0

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